La Recta

Notas de clase: sesi´
on 7

Geometr´ıa anal´ıtica plana: La recta
Complementar con la lectura de las referencias:
1. Lehemann, Ch., Geometr´ıa Anal´ıtica, Limusa, M´exico, 1990.
2. Oteyza, E., - Lama, E., et. al., Geometr´ıa Anal´ıtica, Prentice-Hall Hispanoamericana, M´exico, 1994.
3. Leithold, L., El c´alculo, Oxford UniversityPress, 7ma Ed., M´exico, 1998 : Ap´
endices A1, A2, . . . , A87.1.

Sistemas de coordenadas cartesianas en el plano

Considere el conjunto
R2 = {(x, y) : x; y ∈ R} ;
de todos los pares ordenados de n´
umeros reales. Pondremos en correspondencia biun´ıvoca a los elementos de R2 y los puntos de un plano geom´etrico P, como sigue. Considere en el plano P dos ejes
perpendiculares entre s´ı, uno horizontal llamado eje de abscisas y otro vertical llamado eje deordenadas; el punto de intersecci´
on se llama origen. La orientaci´on de los ejes es la siguiente: en el eje de
abscisas el sentido positivo es a la derecha y en el eje de ordenadas hacia arriba. De esta forma queda
establecida una correspondencia biun´ıvoca entre los puntos del plano y los pares ordenados de n´
umeros
reales.

,
Figura 7.1: Plano cartesiano.

1. Dado un punto P ∈ P, por ´el trazamosdos rectas perpendiculares a los ejes. La recta vertical
determina un u
´nico punto de intersecci´on en el eje de abscisas, denotemos la coordenada de este
punto por xP ; an´
alogamente, la recta horizontal determina en el eje de ordenadas un punto con
coordenada yP . Entonces al punto P le hacemos corresponder el par ordenado (xP ; yP ), es decir
se ha determinado la aplicaci´
on
P ∈ P → (xP , yP) ∈ R2
18

2. Dado un par ordenado (x, y) ∈ R2 se determina un u
´nico punto P ∈ P de la siguiente manera. En
el eje de abscisas ubicamos al punto de coordenada x, por este punto trazamos una perpendicular
L1 al eje de abscisas; procediendo de forma an´aloga con el eje de ordenadas y el n´
umero real y
determinamos una recta L2 . El punto de intersecci´on de L1 y L2 es el punto P que se quer´ıadeterminar, de esta forma tenemos la aplicaci´on
(xP , yP ) ∈ R2 → P ∈ P
Nota. La notaci´
on P (x, y) denota el punto P con coordenadas x para las abscisa y y para la
ordenada. Asimismo, el par ordenado (xP , yP ), denota un punto P con coordenadas xP y yP .
Ejemplo 7.1.1. Un tri´
angulo equil´
atero ABC cuyo lado tiene longitud a est´
a colocado de tal modo
que el v´ertice A est´
a en el origen,el v´ertice B est´
a sobre el eje X y a la derecha de A, y el v´ertice C
est´
a arriba del eje X. Hallar las coordenadas de los v´ertices B y C.
Distancia entre dos puntos, punto medio

Figura 7.2: distancia entre los puntos A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ).

Teorema 7.1.1. Dados los puntos A(xA , yA ) y B(xB , yB ), la distancia entre estos dos puntos es el
n´
umero real d(A; B) dado por
d(A; B) =

(xA −xB )2 + (yA − yB )2

La distancia entre dos puntos del plano cartesiano, satisface las siguientes propiedades
1. d(A, B) ≥ 0
2. d(A, B) = 0 si y s´
olo si A = B
3. d(A, B) = d(B, A)
4. d(A, B) ≤ d(A, C)+d(C, B). En particular, la igualdad se verifica cuando los puntos son colineales.
Ejemplo 7.1.2. Dos de los v´ertices de un tri´
angulo equil´
atero son los puntos (−1, −1) y (3, 1). Hallar
lascoordenadas del tercer v´ertice. (Dos casos)
19

Punto medio
Dados los puntos A = (xA , yA ) y B = (xB , yB ), el punto medio M del segmento AB es
M=

7.1.1.

xA + xB yA + yB
,
2
2

.

Ejercicios

1. Una mediana de un tri´
angulo es un segmento de recta trazado desde un v´ertice hasta el punto
medio del lado opuesto. Calcule la longitud de las medianas del tri´angulo cuyos v´ertices son
A(2, 3),B(3, −3)y C(−1, −19).
2. Hallar las longitudes de las medianas del tri´angulo que tiene v´ertices A(−3, 5), B(2, 4)y C(−1, −4).
3. Determine los puntos medios de las diagonales del cuadril´atero cuyos v´ertices son (0, 0),(0, 4), (3, 5)
y (3, 1).
4. Utilizando la f´
ormula de distancia determine si los puntos (14, 7), (2, 2) y (−4, −1) son o no
colineales.
5. Determine si los puntos A(6, −13),...