la regla de la cadena

UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO
ING. INDUSTRIAL
Calculo de Varias Variables
Ecuaciones de rectas y planos en R3
Integrantes:
Juan Benavides
Carlos Calixto
Tutor:
Ing. Leonardo Fabiani







ÍNDICE




Resumen
Marco teórico
1. Ecuaciones de la recta en el espacio
1.1 Forma vectorial y cartesiana
1.2 Ecuaciones paramétricas
1.3 Ecuaciones de la recta en forma continúa1.4 Ecuación general o como intersección de dos planos.
2. Ecuaciones del plano
2.1 Ecuación vectorial
2.2 Ecuaciones paramétricas
2.3 Ecuación Cartesiana
3. Aplicación
3.1 Ejercicios
3.2 Aplicación profesional

Conclusiones
Recomendaciones
Bibliografía


















Resumen

En este capítulo aremos el estudio de las ecuaciones de rectas y plano como la missencilla de todas las superficie. Podríamos continuar nuestro trabajo estudiando superficies m8s complicadas antes de considerar las curvas en el espacio. Pero la línea recta en el espacio, considerada como la intersección de dos planos diferentes, se presenta tan naturalmente después del estudio del plano, que dedicamos completo el presente capítulo a su estudio. El siguiente capítulo loreservaremos para tratar el problema general de las superficies en R3.


Marco teórico
1. Ecuaciones de la recta en el espacio
Las rectas son variedades lineales de dimensión a (parámetro libre a). Quedan
determinadas por:
Un punto de la recta y un vector paralelo a ésta (vector director de la recta)
Dos puntos no coincidentes de la recta.

Formas de expresar la recta en el espacio:
Formavectorial y cartesiana
Paramétricas
Ecuación continua
Ecuación general o como intersección de dos planos.

1.1. Forma vectorial y cartesiana

Ecuación vectorial

Una recta viene determinada por un punto y una dirección, esta dirección está marcada por el vector libre también llamado vector director, Un punto X está en la recta si y sólo si y son proporcionales: [] = t .
Si es elvector de posición de P, es el vector de posición de X, quedará:
– = t . es decir: = + t .
La expresión = + t . con t  R es la ecuación vectorial de la recta que pasa por P y tal que es un vector director de la misma.



1.2. Ecuaciones Paramétricas

Ecuaciones paramétricas
La recta que pasa por P de vector director (v1, v2, v3) se puede poner así:

(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t(v1, v2, v3)
Al igualar coordenadas obtenemos:

X= xo + t . v1
Y= yo + t . v2
Z= zo + t . v3

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene por vector director = (v1, v2, v3)
X= xo + t . v1
Y= yo + t . v2
Z= zo + t . v3








1.3. Ecuación continua


Ecuaciones de la recta en forma continúa

Las ecuaciones paramétricas dela recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene
por vector director (v1, v2, v3) son
Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene por vector director = (v1, v2, v3) son


Despejando en la expresión anterior el parámetro e igualando

x − x0 y − y0 z − z0
= =
v1 v2 v3





1.4.Ecuación general o como intersección de dos planos.

Partiendo de la ecuación en forma continua, se resuelven las dos ecuaciones de 2 planos que se cortan en esta recta. Se cumple que el vector director de la recta es perpendicular de los vectores directores de los dos planos, y se obtiene con el producto vectorial de los vectores cuyas coordenadas son los coeficientes que multiplican a x, y, zde los dos planos:

v = (A, B,0) x (A',0,C' ) = (BC'- 0·0,0·A − AC', A·0 − BA' )
Ecuaciones Cartesianas. Operando las igualdades, es decir, agrupando términos y ordenando se obtiene las expresiones:

Ax + By + Cz + D = 0
A’x + B’y + C’z + D’ = 0


2. Ecuaciones del plano

La ecuación de un plano viene determinada por un punto A(x0, y0,z0) y dos vectores , linealmente independientes....