La Republica

´ ´ Algebra Lineal y Geometr´ I. Curso 2010/11. Departamento de Algebra. http://www.departamento.us.es/da ıa

Cap´tulo 3 ı Determinantes
3.1. Definici´ n o
En este tema trataremos una de las herramientas m´ s importantes en el estudio del a algebra matricial, en el c´ lculo del rango o de la inversa de una matriz o la resoluci´ n de ´ a o sistemas de ecuaciones lineales: los determinantes.Para ello comenzaremos por recordar brevemente algunas propiedades de las permutaciones, que el alumno debe conocer. Denotaremos Sn al conjunto de las permutaciones de un conjunto de n elementos, es decir, al conjunto de las aplicaciones biyectivas σ : {1, . . . , n} −→ {1, . . . , n}. Dada una permutaci´ n σ ∈ Sn , una de las caracter´sticas de σ que va a tener m´ s imporo ı a tancia en este temaser´ su numero de inversiones, ni(σ), que es el n´ mero de pares (i, j) a u ´ tales que i < j y σ(i) > σ(j). Hay una forma gr´ fica muy util para describir el n´ mero a ´ u de inversiones de σ: Si disponemos dos copias del conjunto {1, . . . , n}, donde los n´ meu ros est´ n alineados verticalmente como en el ejemplo de la figura 3.1, la permutaci´ n σ a o viene representada por n segmentos, o l´neas,que unen el elemento i de la primera copia ı al elemento σ(i) de la segunda. Es claro que ni(σ) es simplemente el n´ mero de cruces u (intersecciones) que aparecen en esta representaci´ n. (Nota: se debe evitar que m´ s de o a dos rectas se corten en el mismo punto, para poder contar los cruces de forma m´ s clara.) a

Figura 3.1: Ejemplo de permutaciones σ, τ ∈ S5 tales que ni(σ) = 5, ni(τ ) =4 y ni(τ ◦ σ) = 7. A partir de ni(σ), se obtiene el signo (o la paridad) de la permutaci´ n σ, dado simo plemente por la f´ rmula: o sg(σ) = (−1)ni(σ) .

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Observemos que sg(σ) = 1 si ni(σ) es un n´ mero par, y sg(σ) = −1 si ni(σ) es un u n´ mero impar. En el primer caso diremos que σes una permutaci´ n par, mienras que en u o el segundo diremos que σ es una permutaci´ n impar. o Proposici´ n 3.1.1. La composici´ n de dos permutaciones pares, o de dos permutaciones o o impares, es una permutaci´ n par. La composici´ n de una permutaci´ n par y una impar, o o o es una permutaci´ n impar. o P RUEBA : Sean σ, τ ∈ Sn dos permutaciones, que representaremos gr´ ficamente de forma aconsecutiva, como en la figura 3.1. Observemos que la composici´ n τ ◦ σ se obtiene o siguiendo las l´neas desde la primera copia de {1, . . . , n} a la tercera. Un par (i, j) ser´ una ı a inversi´ n de τ ◦ σ si las l´neas correspondientes se cruzan una s´ la vez (o bien en σ o bien o ı o en τ ). Por el contrario, (i, j) no ser´ una inversi´ n de τ ◦ σ si las l´neas correspondientes a o ı no secruzan, o si se cruzan dos veces (los dos cruces marcados en la figura 3.1). Si llamamos m al n´ mero de pares (i, j) tales que sus l´neas correspondientes se cruzan dos u ı veces, este argumento nos dice que ni(τ ◦ σ) = ni(σ) + ni(τ ) − 2m. De aqu´ se deduce ı inmediatamente el resultado sobre la paridad de τ ◦ σ. 2 Corolario 3.1.2. Dada σ ∈ Sn , se tiene sg(σ) = sg(σ −1 ). P RUEBA : Al ser σ −1 ◦ σ =Id una permutaci´ n par (la identidad es la unica permutaci´ n o ´ o −1 sin inversiones), el resultado anterior implica que σ y σ tienen la misma paridad. 2 M´ s adelante necesitaremos alg´ n otro resultado sobre permutaciones, pero ahora ya a u podemos dar la definici´ n principal de este tema. o

Deteminante de una matriz Sea A una matriz cuadrada de orden n × n. Se define el determinante de A,denotado |A| o det(A), como: |A| =
σ∈Sn

sg(σ) · [A]1σ(1) [A]2σ(2) · · · [A]nσ(n) .

Observemos que |A| es una suma de n! t´ rminos, puesto que hay un t´ rmino por cae e da permutaci´ n de Sn . Cada sumando contiene un producto de la forma a1σ(1) · · · anσ(n) . o Estos n escalares son n entradas de la matriz A que est´ n en n filas distintas, y tambi´ n a e en n columnas distintas....