La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1),dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3,5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Una de las curiosidades de dicha serie son los dígitos de sus elementos:

Empezando en 1 dígito y "terminando" eninfinitos, cada valor de dígito es compartido por 4, 5 o 6 números de la serie. Siendo 6 solo en el caso de 1 dígito.

En los elementos de posición n, n10, n100,..., el número de dígitos aumenta en elmismo orden. Dando múltiples distintos para cada n.

A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números deFibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular f_{100}, en vez de hacer las 573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo 1 o las 100 sumas con el algoritmo 2, el cálculo se reduce a tan sólo 9multiplicaciones matriciales.

Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo 1 requiere efectuar f_{n+1}-1 sumas para poder encontrar elresultado. Dado que la sucesión f_n crece tan rápido como \varphi^n, entonces el algoritmo está en el orden de \varphi^n. Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular f_{50}este algoritmo requiere efectuar 20.365.011.073 sumas.

Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6), sin embargo, dado que \varphi es un númeroirracional, la única manera de utilizar esta fórmula es utilizando una aproximación de \varphi y obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por ejemplo, si se usa una...