La teoria del caos

Teoría del Caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas y la física que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios de los sistemas dinámicos. Los sistemas dinámicos se pueden clasificar grosso modo en: 

estables 
inestables 
caóticos (Caos determinista) 
Un sistema estable tiende, según transcurre el tiempo, a un punto u órbita, según su dimensión (atractor). Unsistema inestable se escapa de los atractores, y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el cual el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo. 

Una de las mayores características de un sistemainestable es que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de talessistemas incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población. 

Por ejemplo, el tiempo atmosférico, según describió Edward Lorenz, se describe por 3 ecuaciones diferenciales bien definidas. Siendo así, conociendo las condiciones iniciales se podría conocer la predicción del tiempo en el futuro. Sin embrago, alser éste un sistema caótico, y no poder conocer nunca con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por pequeño que éste sea) hace que aunque se conozca el modelo, éste diverja de la realidad pasado un cierto tiempo. Por otra parte, el modelo atmosférico es teórico y puede no ser perfecto, y eldeterminismo, en el que se basa, es también teórico. 

Movimiento caótico 
Para poder clasificar el comportamiento de un sistema como caótico, el sistema debe tener las siguientes propiedades: 

debe ser sensible a sus condiciones iniciales 
debe ser transitivo 
sus órbitas periódicas deben ser densas 
Sensibilidad a las condiciones iniciales significa que dos puntos en tal sistema debenmoverse en trayectorias muy diferentes en sus fases del espacio incluso si la diferencia en sus configuraciones iniciales son muy pequeñas. El sistema se comportaría de manera idéntica sólo si sus configuraciones iniciales fueran exactamente las mismas. Un ejemplo de tal sensibilidad es el así llamado "efecto mariposa", donde el aleteo de las alas de una mariposa se supone que crea delicados cambiosen la atmósfera, los cuales durante el curso del tiempo se modifican hasta hacer que ocurra algo tan dramático como un tornado. La mariposa aleteando sus alas representa un pequeño cambio en las condiciones iniciales del sistema, el cual causa una cadena de eventos que lleva a fenómenos a gran escala como tornados. Si la mariposa no hubiera agitado sus alas, la trayectoria del sistema hubierapodido ser muy distinta. 

La sensibilidad a las condiciones iniciales está relacionada con el exponente Lyapunov. El exponente Lyapunov es una cantidad que caracteriza el ratio de separación de trayectorias infinitesimalmente cercanas. 

Transitividad significa que la aplicación de las transformaciones de cualquier intervalo dado I1 se expanden hasta que se superpone con otro intervalo dadoI2. 


Atractores 
Una manera de visualizar el movimiento caótico, o cualquier tipo de movimiento, es hacer un diagrama de fases del movimiento. En tal diagrama el tiempo es implícito y cada eje representa una dimensión del estado. Por ejemplo, un sistema en reposo será dibujado como un punto, y un sistema en movimiento periódico será dibujado como un círculo. 

Algunas veces el movimiento...