La transformada de laplace en economia

La transformada de Laplace en economía
Héctor Lomelí y Beatriz Rumbos
∗
Resumen
Es cada vez más frecuente, que en economía se utilicen técnicas
y métodos matemáticos que originalmente surgieron como respuesta a
problemas físicos. Una metodología que es usada comúnmente para
problemas de ingeniería es la de las transformadas integrales. En este
breve artículo estudiamos a una de ellas, latransformada de Laplace.
Lo que hace útil a esta transformada es la interpretación natural que
tiene como el valor presente de un flujo de efectivo.
§1 Preliminares
Sea f : [0,∞) → R una función. Una transformada integral es una relación
de la forma
F (s) =
∞Z
0
K(s, t)f(t)dt,
en donde la función f es transformada en otra función F por medio de una
integral.
1
La función F se conocecomo la trasformada de f y la función
K es el kernel de la transformación. Claramente, la transformada podría no
existir. Las transformadas integrales se utilizan para convertir algún problema que involucra a la función f en otro problema, en ocasiones más sencillo,
que involucra a F. Adicionalmente, son una herramienta sumamente útil para
la resolución de algunas ecuaciones diferenciales.
∗Profesores del Departamento Académico de Matemáticas, ITAM.
1
Si el dominio de f es R, entonces el límite inferior podría también ser impropio y ser
−∞, como es el caso de la transformada de Fourier.
1La transformada de Laplace
2
L[f](s) es una transformada integral en
donde el kernel está dado por e−st
de manera que
L[f](s) = F (s) =
∞Z
0
e−st
f(t)dt.
De este modo, la transformada deLaplace de una función f tiene una interpretación económica evidente: L[f](s) es el valor presente de un flujo f(t)
durante el periodo [0,∞) y con una tasa de descuento igual a s. Esta observación fue hecha en 1986 por S. Buser (véase [Buser 1986]), que detectó en
esta transformada una herramienta para calcular el valor presente de flujos
de efectivo. Otras aplicaciones dentro de finanzas yactuaría pueden verse
en los siguientes artículos: [DeSchepper, Teunen y Goovaerts 1992 y 1994],
[Pelsser 2000], [Denuit 2001] y [Bartoszewicz 2000].
Ejemplos
Ej 1.1 Sea f(t) = t, entonces
L[t](s) =
∞Z
0
te−st
dt.
Esta integral existe siempre y cuando s > 0 e, integrando por partes, se
obtiene
L[t](s) =
1
s
2
.
De forma semejante,
3
si f(t) = t
n
, n ∈ N∪{0}, tenemos que
L[t
n](s) =
∞Z
0
t
n
e−st
dt
y esta integral existe para s > 0, tomando el valor
L[t
n
](s) =
n!
sn+1
.
2
Nombrada así en honor del matemático francés del siglo XVIII Pierre S. Laplace.
3
La prueba puede realizarse fácilmente por inducción.
2Ej 1.2 Sea f(t) = e
at
, entonces
L[e
at
](s) =
∞Z
0
e
at
e−st
dt
existe para toda s > a y está dada por
L[e
at
](s) =
1
s − a
.Del mismo modo,
L[e−at
](s) =
1
s + a
,
que es válida para toda s > −a.
Ej 1.3 Sea c(t) una trayectoria de consumo y u(c(t)) la utilidad que se deriva
del mismo, entonces
L[u(c)](s) =
∞Z
0
u(c(t))e−st
dt
es el valor presente de la utilidad acumulada en [0,∞), descontado a una tasa
s.
♣♣♣♣♣
La utilidad de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones
diferenciales sederiva de la siguiente propiedad:
L
·
df
dt
¸
(s) = sL[f](s) − f(0), (1)
en donde f es una función diferenciable en [0,∞). La demostración es sumamente sencilla utilizando la definición de la transformada e integración por
partes. Adicionalmente, la transformada de Laplace es un operador lineal,
con lo cual se cumplen:
L[0] = 0,
L[af + bg] = aL[f] + bL[g] (2)
3para cualesquiera f y gfunciones y a, b ∈ R. Finalmente, la asignación f → F
es inyectiva, de manera que puede definirse la transformada de Laplace
inversa (de la función F ) como L−1
[F ](t) = f(t). Esta transformada inversa
posee también la propiedad de linealidad.
Ejemplos
Ej 1.4 Sea k(t) una trayectoria para el capital. Si el capital se deprecia a
una tasa δ, entonces la trayectoria de inversión bruta está...