La Transformada Z

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior Facultad de Ingeniería Escuela: Eléctrica Cátedra: Matemática para la ingeniería


Maracaibo, febrero de 2009

1.- Definición de la transformada Z
En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en unarepresentación en el dominio de la frecuencia compleja. El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales detiempo continuo. La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

 Transformada Z bilateral
La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

Donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma z = Aejω Donde A es el módulo de z, yω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s).

 Transformada Z unilateral
De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R ; esdecir que converge "hacia afuera". Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la

función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.

2.- ¿Por qué usar la transformada Z?• La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias • La transformada Z tiene la ventaja de que, en problemas analíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más conveniente

• El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relacióncorrespondiente con la transformada de Fourier. • El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.

• Usando la transformada Z, un filtro digital puede ser caracterizado mediante una funcióntransferencia discreta en el tiempo, que juega elmismo rol que la función transferencia contínuaen el tiempo para un filtro analógico.Considerando un filtro digital lineal e invariante en el tiempo, tal como el siguiente:

3.-demostrar la transformada z para las siguientes funciones elementales: función escalón unitario, función exponencial ( ), función ,y rampa.
Escalón unitario: Definido por x(n)=

La transformada es X (z)

= X (0) +X (1)

+ X (2)

+…+X(n)

+…

X (Z)=

=

) =

X (Z)=

para │Z│>1

4.- Demonstrar las siguientes propiedades y teoremas: Linealidad, inversión en tiempo, multiplicación y diferenciación en n, escalamiento en frecuencia, traslación hacia la derecha y la izquierda, acumulación, valor inicial y final.
a) Linealidad

Si a y b son constantes, y Z f(nT) = F(z) Y Zg(nT) = G(z),entonces:

Z [ a f(nT) + b g(nT) ] = a F(z) + b G(z)

b) Inversión temporal. x[(n] Z"# X(z"1), Con ROC , 1/R. Esta propiedad pone de manifiesto una relación entre la transformada z y la función generatriz

c) Corrimiento a la derecha (retraso) La respuesta del sistema se define por:

y(k )  f (k  m) k  0
La transformada de la salida y(k) se define a su vez como:

Y ( z)   y(k ) z k...