la trnsformada de la place

LA TRANSFORMADA Y LA PLACE
De una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s),definida por:

Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f (t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es


Cuando se habla de la transformada deLaplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe paratodos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
es llamado el operador de la transformada de Laplace.

La transformada de Laplace recibesu nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de laforma:


— como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo deintegrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

— que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser queen 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día seentienden. Usó una integral de la forma:

— análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó...