La vida del universo
Páginas: 5 (1223 palabras)
Publicado: 19 de septiembre de 2010
LIMITES
La idea de límite es la que distingue al Cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho podríamos definir el Cálculo como el estudio de los límites.
Idea intuitiva (1)
Consideremos la función
f no está definida para , en este punto tiene la forma , que carece de significado. Podemos, sin embargo, preguntar ¿Qué sucede a cuando x se aproxima a 1? Dicho con másprecisión ¿Se aproxima a algún número específico cuando x tiende a 1?
Para responder esta pregunta haremos tres cosas:
1°. Calcular algunos valores de para valores de x próximos a 1.
2° Representar estos valores en un diagrama esquemático
3°. Bosquejar la gráfica de
Y
1
2
f(x)
4
1
x
Grafica de
x
3
X
f(x)
°
x | y = f(x) |1,2501,1001,0101,001..1,000..0,9990,9900,9000,750 | 3,8133,3103,0303,003..?..2,9972,9702,7102,313 |
Toda la información que se ha reunido apunta a la misma conclusión: “ tiende a 3 cuando x tiende a 1”
En símbolos matemáticos escribimos , y se lee “el límite cuando x tiende a 1 de es igual a 3”
Factorizando podemos obtener más y mejores evidencias
Note queSignificado intuitivo de límite
Decir que significa que cuando x esta cerca, pero difiere de , está cerca de L.
¿Qué significa cerca?
¿Qué tan cerca?
Formalmente. Decir que , significa que la diferencia entre y L puede hacerse arbitrariamente pequeña con tal de que x esté lo suficiente cerca de , pero diferente de este.
Procesando. Decir que f difiere de L menos que ,equivale a decir ó , esto significa que .
Decir que x está suficiente cerca de pero diferente, equivale a decir que para algún , del cual se ha suprimido a . De mejor modo, decir esto consiste en escribir , que describe al intervalo .
Definición.
Demostración de límites
Para demostrar límites seguiremos la siguiente regla:
1. Dado arbitrario, hallar /satisfaga la definición.
2. Mediante propiedades, hacer
3. Hacer para los x en una pequeña vecindad de , lo cual implica elegir un valor
4. Así, se tendrá
5. Tomando
6.
Interpretación geométrica de límite
Y
3
5
2
1
3
1
XPruebe que
Análisis preliminar. Se busca un tal que
Ahora, paraEsto indica que satisface la definición
Prueba formal. Sea escoger . Entonces, implica
La cancelación del factor es legitima porque implica es decir, que se ha evitado la división entre 0.
Ejemplo. Demostrar que
Acotando
TomandoTomando
, con lo que queda demostrado el limite.
Ejercicios. Demostrar los siguientes límites
Teorema (Unicidad del límite)
El límite de una función, si existe, es único
Si
Demostración
Propiedades. Si f y g son funciones tales que
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ejemplo. Calcular
1.
2.3.
Teorema. Sean funciones tales que
Demostración
Tomando
de donde
Por lo tanto
si
Limites trigonométricos
Para el cálculo de límites trigonométricos es necesario establecer algunos criterios, los cuales mencionaremos los siguientes postulados...
La idea de límite es la que distingue al Cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho podríamos definir el Cálculo como el estudio de los límites.
Idea intuitiva (1)
Consideremos la función
f no está definida para , en este punto tiene la forma , que carece de significado. Podemos, sin embargo, preguntar ¿Qué sucede a cuando x se aproxima a 1? Dicho con másprecisión ¿Se aproxima a algún número específico cuando x tiende a 1?
Para responder esta pregunta haremos tres cosas:
1°. Calcular algunos valores de para valores de x próximos a 1.
2° Representar estos valores en un diagrama esquemático
3°. Bosquejar la gráfica de
Y
1
2
f(x)
4
1
x
Grafica de
x
3
X
f(x)
°
x | y = f(x) |1,2501,1001,0101,001..1,000..0,9990,9900,9000,750 | 3,8133,3103,0303,003..?..2,9972,9702,7102,313 |
Toda la información que se ha reunido apunta a la misma conclusión: “ tiende a 3 cuando x tiende a 1”
En símbolos matemáticos escribimos , y se lee “el límite cuando x tiende a 1 de es igual a 3”
Factorizando podemos obtener más y mejores evidencias
Note queSignificado intuitivo de límite
Decir que significa que cuando x esta cerca, pero difiere de , está cerca de L.
¿Qué significa cerca?
¿Qué tan cerca?
Formalmente. Decir que , significa que la diferencia entre y L puede hacerse arbitrariamente pequeña con tal de que x esté lo suficiente cerca de , pero diferente de este.
Procesando. Decir que f difiere de L menos que ,equivale a decir ó , esto significa que .
Decir que x está suficiente cerca de pero diferente, equivale a decir que para algún , del cual se ha suprimido a . De mejor modo, decir esto consiste en escribir , que describe al intervalo .
Definición.
Demostración de límites
Para demostrar límites seguiremos la siguiente regla:
1. Dado arbitrario, hallar /satisfaga la definición.
2. Mediante propiedades, hacer
3. Hacer para los x en una pequeña vecindad de , lo cual implica elegir un valor
4. Así, se tendrá
5. Tomando
6.
Interpretación geométrica de límite
Y
3
5
2
1
3
1
XPruebe que
Análisis preliminar. Se busca un tal que
Ahora, paraEsto indica que satisface la definición
Prueba formal. Sea escoger . Entonces, implica
La cancelación del factor es legitima porque implica es decir, que se ha evitado la división entre 0.
Ejemplo. Demostrar que
Acotando
TomandoTomando
, con lo que queda demostrado el limite.
Ejercicios. Demostrar los siguientes límites
Teorema (Unicidad del límite)
El límite de una función, si existe, es único
Si
Demostración
Propiedades. Si f y g son funciones tales que
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ejemplo. Calcular
1.
2.3.
Teorema. Sean funciones tales que
Demostración
Tomando
de donde
Por lo tanto
si
Limites trigonométricos
Para el cálculo de límites trigonométricos es necesario establecer algunos criterios, los cuales mencionaremos los siguientes postulados...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.