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Transformada de Fourier (Parte 1)

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INTRODUCCION En una primera aproximación, podemos decir que todos los dominios transformados, que se utilizan dentro del tratamiento digital de imagen, tienen la misma forma básica que puede expresarse como:

donde T es la imagen transformada, I la imagen de entrada, de tamaño MxN, y b es la función base de la transformación. De la Ec. ( 2.1 ) sededuce el hecho de que el resultado de cada pixel depende de todos los pixels de la imagen de entrada. Cada pixel de la imagen de entrada, se multiplica por el término apropiado de la función base correspondiente a la transformada y se añade a la suma. A simple vista, es evidente que el cálculo directo de una ecuación de este tipo lleva asociado un número considerable de operaciones. Pero estacarga computacional puede reducirse en gran medida si la función base de la transformación esseparable. Afortunadamente, las transformadas más usuales, incluyendo la transformada de Fourier, tienen funciones base separables. Además, la variedad de aplicaciones que encuentran las transformadas ha contribuido al desarrollo de métodos muy eficientes para su cálculo.

TRANSFORMADA DE FOURIER
Hastacierto punto, la transformada de Fourier es como un segundo lenguaje para describir funciones. Las personas bilingües encuentran frecuentemente un lenguaje mejor que otro para expresar sus ideas. De forma similar, en el tratamiento digital de imagen uno debe elegir entre el dominio espacial y el dominio frecuencial a la hora de afrontar la mayoría de los problemas. Cuando se empieza a aprender unidioma nuevo una persona tiende a pensar en su lengua materna y mentalmente traduce antes de hablar. Sin embargo, una vez que se consigue fluidez uno puede pensar en cualquier idioma. Por tanto, necesitamos familiarizarnos con la transformada de Fourier para poder pensar tanto en el dominio espacial como en el frecuencial y elegir el más adecuado en cada situación. Para conseguirlo es necesariocombinar un conocimiento teórico de laspropiedades de la transformada de Fourier, con el correspondiente práctico de su interpretación física. Con esta idea, este capítulo desarrolla la transformada de Fourier, recorriendo desde el caso

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unidimensional continuo hasta el bidimensional discreto, sin olvidarnos del interés que merece la transformadarápida de Fourier y su implementación.

TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIER
El físico francés, Joseph Fourier (1768-1830), desarrolló una representación de funciones basada en la frecuencia, que ha tenido una gran importancia en numerosos campos de matemáticas y ciencia. Una interpretación simplificada de la transformada de Fourier se ilustra en la siguiente figura

Fig. 2.1. Interpretación de laTransformada de fourier

Como se muestra, la teoría que Fourier desarrolló, propone que mediante la suma de señales co/sinusoidales de diferentes amplitudes, frecuencias y fases, es posible construir casi cualquier función arbitraria. Dentro de este conjunto de señales puede existir una con frecuencia cero, que es un término constante, a menudo referido como la componente continua (DC), debido alhecho de que cierta terminología en este área está derivada del procesado de señal y electrónica. La representación gráfica de la transformada de Fourier es un diagrama, denominado espectro de Fourier, donde se representa la frecuencia y amplitud de cada una de las componentes sinusoidales determinadas. La Fig. 2.1 presenta un ejemplo de la transformada de Fourier de una señal sencilla. Latransformada de Fourier se compone de dos sinusoides, que sumadas producen la forma de onda de partida. Como se ve, el gráfico de la transformada de Fourier representa tanto la amplitud como la frecuencia. Hemos seguido el convenio general, mostrando sinusoides de frecuencia positiva y negativa

Transformada de Fourier (Parte 1) para cada frecuencia. Matemáticamente, la transformada de Fourier se...