la vida

Universidad Andr´s Bello
e
Departamento de Matem´ticas
a

ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 032
1er Semestre, 2011
PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE
Viernes 20 de Mayo de 2011
1. Encuentrela soluci´n de las siguientes inecuaciones:
o
(a)

2+x 1
+ >1
4
x
Sol:
x2 − 2x + 4
2+x 1
+ >1⇔
>0
4
x
4x
Se puede apreciar que x2 − 2x + 4 > 0; ∀x ∈ R, luego la soluci´n de lainecuaci´n es S =]0, ∞[.
o
o

(b) 0 ≤ 2x − 4 < 5x + 8
Sol:
Separando en dos casos:
(2x − 4 ≥ 0) ∧ (2x − 4 < 5x + 8) ⇔ (x ≥ 2) ∧ (x > −4)
Luego la soluci´n es S = [2, ∞[∩] − 4, ∞[= [2, ∞[.
o
2.Considere la funci´n f (x) =
o

1
. Encuentre el valor de la constante a de modo que
x+1
1
a+1

f

=f

2a + 1
2a + 4

a+1
∧f
a+2

2a + 1
2a + 4

Sol:
Por un lado:
f

1
a+1

==

2a + 4
4a + 5

Igualando:
a+1
2a + 4
=
⇔ 4a2 + 9a + 5 = 2a2 + 8a + 8
a+2
4a + 5
⇔ 2a2 + a − 3 = 0 ⇒ a = 1 ∨ a = −

3
2

3. Un delf´ toma impulso y un salto por encima de lasuperficie del mar sigue la trayectoria
ın
h(t) = −t2 + 6t
donde h es la altura que adquiere desde la superficie ( en metros ) y t el tiempo en transcurrido en
segundos.
(a) Determine el(los) instante(s)en que el delf´ alcanza una altura de 5 metros.
ın
Sol:
Se impone que h = 5:
−t2 + 6t = 5 ⇔ t2 − 6t + 5 = 0 ⇔ (t − 1)(t − 5) = 0
⇒t=1∨t=5
El delf´ alcanza la altura 5 metros al segundo y a los 5segundos.
ın
(b) Calcule el tiempo para el cual la altura del delf´ es m´xima.
ın
a
Sol:
b
−6
Se calcula tmax = −
=
= 3 segundos.
2a
2 · −1
(c) ¿Cu´l es la altura m´xima?
a
a
Sol:Basta con calcular h(3) = −9 + 6 · 3 = 9 metros
(d) ¿En qu´ instante el delf´ vuelve a sumergirse?
e
ın
Sol:
Se impone que h = 0, es decir
−t2 + 6t = 0 ⇔ t(6 − t) = 0 ⇒ t = 0 ∨ t = 6
A los 6segundos vuelve a sumergirse.
4. El crecimiento de una colonia de abejas despu´s de t meses, viene dada por la funci´n exponencial:
e
o
P (t) =

228
1 + 56 · e−0.37t

(a) ¿Cu´ntas abejas...