La Vidaa

Carrera: INGENIERIA AGRONOMICA

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MATEMATICA I Cátedra: MATEMATICA I

Límite de una función
La idea intuitiva de límite forma parte del acervo popular. Tender a un límite significa aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático, esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo infinitamente pequeño (infinitésimos)y lo infinitamente grande (el infinito). Noción de límite de una función Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f(x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a “a”, siendo distinto de a. En otras palabras, se dice que una función(x) tiende al límite L cuando x tiende al valor “a” si el valor absoluto de diferencia de f(X) –Lpuede hacerse tan pequeño como se quiera en las proximidades del punto x=a (sin interesar lo que ocurre precisamente en el punto x=a). En términos matemáticos, se expresa como:

Gráficamente la definición de limite puede interpretarse así:

2

1

a
Dado un valor  se trazan las paralelas y= L+ : y = L- , cortándose la curva en dos puntos (1 y 2). Luego se trazan las verticales por lospuntos determinados. Si para cualquier valor de x del entorno (a- ; a+) así determinado, las ordenadas de f(x) están entre las paralelas L+ y L-, se dice que en el punto “a” el límite de la función f(x) es L.

Ing. Andrea Calahorra

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Ejemplo: Determinar el comportamiento de la siguiente funcióncuando x tiende a 2.

Si observamos el comportamiento , veremos que la función no está definida en el punto x=2. Pues

Y este cociente está excluido de las operaciones aritméticas.

Sin embargo , podremos calcular el límite de esta función cuando x tiende a 2 (x→2), si observamos que en la definición anterior hemos dicho que no consideramos lo que ocurre con la función precisamente en el puntox=2. Como es

Para todo x≠2 es(x-2)≠0 y por consiguiente , dividiendo el numerador y el denominador por este factor resulta f(x)= (x+3). La función no está definida en x=2; en los puntos restantes coincide con la función y=x+3, que está definida para todos los puntos de la variable. Como en la determinación del límite para x→2 consideramos los valores de un entorno del punto x=2, exceptoprecisamente el punto x=2, utilizaremos la función y=x+3, que coincide con la función dada para todos los valores de x distintos de 2. Para x→2, y→5, pues si deseamos que sea (x+3)-5 = x-2 a (por la derecha) y desde valores x < a (por la izquierda). En cada caso se obtienen valores denominados límite por la derecha (x→a+) y límite por la izquierda (x→a-). Por definición, para que exista el límite deuna función ha de cumplirse que existan los dos límites laterales (por la derecha y por la izquierda) y que ambos sean iguales. Ello se expresa como:

Teoremas sobre limites. Si f (x) = c, constante, tendremos:

Dadas dos funciones f(x) y g(x) que tienen límite en un punto a, se cumplen las siguientes propiedades:

Si

y

, resulta:

El límite del producto de una constante por unafunción viene determinado por la multiplicación de la constante por el límite de la función. , siendo k una constante. El límite de la suma o diferencia de ambas funciones es igual a la suma o diferencia de los límites.

El límite del producto de las funciones es igual al producto de sus límites.

El límite del cociente entre ambas funciones es igual al cociente entre los límites, siempre y cuando ellímite del denominador sea distinto de cero.

, siempre que
Ing. Andrea Calahorra

sea un número real.
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INFINITESIMOS Se llama infinitésimo a toda función cuyo límite en un punto dado es cero. Ello quiere decir que, al aproximarse al punto, la función tiende a anularse. El concepto de...