Lab03 ajuste lineal 2013 3

Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Básicas
Mecánica y Laboratorio

AJUSTE LINEAL

Elaboró: Nelson Bahamón1 y Sandra Patricia Rubio2


1. Competencias.

Potenciar en el estudiante la capacidad para la recolección, análisis y procesamiento de datos experimentales.

Debe ser capaz de identificar el método correcto para determinar la incertidumbre de medias directas e indirectas.

2.Objetivos.

Determinar mediante criterios experimentales, la rapidez promedio de un móvil.


3. Aspecto Teórico.

Error cuadrático y desviación estándar

Cuando en el laboratorio se quiere saber la magnitud de una cantidad experimental que presenta un carácter aleatorio al momento de medirla, es necesario tomar varias mediciones y promediarlas. Un ejemplo puede ser el tiempo de caída de una esferadesde una altura fija. Al tomar dicho tiempo con un cronómetro varias veces, muy seguramente se obtendrá un valor un poco diferente en cada caso. Otro ejemplo puede ser el peso de un niño de cuatro años. Sin duda hay un valor estimado (promedio), pero claramente siempre habrá fluctuaciones.

De esta manera el valor experimental escogido será el promedio de los datos. Surge entonces la pregunta:¿Cuál es la incertidumbre de dicho valor?

La herramienta que se utiliza en este caso es un concepto de la estadística llamado desviación estándar. La desviación estándar es una medida de que tanta dispersión hay en un conjunto de datos.
La desviación estándar se acostumbra notar con la letra  y está dada por la siguiente expresión:

(A1-1)

Donde: = Promedio de los valores xi
N = Número dedatos

Se define entonces la incertidumbre experimental como:

(A1-2)

Como se observa, se han colocado las dos notaciones más comunes para la incertidumbre (de la variable x), es decir x y x. Esta incertidumbre se conoce también como error cuadrático.

Nota: La ecuación (A1 – 2) se ha dado sin demostración ni justificación. La ecuación (A1 – 1) se conoce más exactamente como desviación estándarmuestral. Existen también los conceptos de desviación estándar poblacional y varianza, muy relacionados con el tema. Es muy importante leer sobre estos conceptos del área de la estadística ya que aquí se ha hecho solo una pequeña referencia.



Ajuste Lineal por Mínimos Cuadrados

En un procedimiento experimental es frecuente medir dos variables cuya relación al momento de graficar los datostomados, es en buena aproximación, lineal. Llámese X la variable independiente y Y la variable dependiente. A continuación se bosqueja la posible gráfica:



Como se observa, los datos tienen un comportamiento aproximadamente lineal pero no es exacto ya que se trata de datos experimentales. Surge entonces la pregunta: Si el comportamiento es lineal ¿Cómo se obtiene la pendiente (m) y el punto de corte(b) en la ecuación Y = mX + b que relaciona las dos variables?

Un primer criterio es el que se conoce como método gráfico. En este se utiliza una regla para trazar una línea recta que pase lo mejor posible por todos los puntos o que en su defecto deje igual número de puntos experimentales por encima que por debajo de la recta. Luego se obtiene m y b directamente en forma gráfica. Este método no esexperimentalmente riguroso ya que depende mucho de la observación subjetiva de quien trace la recta.

Un segundo criterio es el ajuste lineal por mínimos cuadrados. Este método es mucho más riguroso y es el que se debe aplicar siempre en las prácticas de laboratorio. El método surge de minimizar la suma de los errores al cuadrado para Y, entre la recta y los valores experimentales. Sin embargo elobjetivo del curso no es comprender la deducción del método sino aprender a utilizarlo. De esta manera, a continuación se muestran las ecuaciones que se utilizan en el método de mínimos cuadrados para hallar m y b.

(A1-1)

Donde: N = Número de datos.

(A1-2)

Donde: = Promedio de los valores de Y.
= Promedio de los valores de X.

Las incertidumbres de m y b se calculan de la siguiente...