Lab2 2 00 2010

Matemática básica 2: Laboratorio 2
La derivada
1 Introducción
En este laboratorio el estudiante explorará el concepto de derivada utilizando Mathematica. En el ejemplo 1 se
hace una aproximación numérica y gráfica para luego calcular la derivada como un límite. El ejemplo 2 es una
animación que permite ver como la recta secante a una curva se aproxima a la tangente cuando h tiende a cero en la
fHx + hL - f HxL
expresión ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ . En los ejemplos siguientes se ilustra como se puede utilizar el comando D para
h
resolver problemas donde se requiere el cálculo de derivadas, se incluye un ejemplo en donde se ilustra como es
posible construir una función que se ajuste a una tabla de datos que se han obtenido experimentalmente. En los
últimos ejemplos sepresenta un método que permite calcular derivadas implícitas utilizando Mathematica, pues el
programa no cuenta con comandos para ese propósito.

ü Sobre la entrega del reporte
El reporte de laboratorio será elaborado en forma individualo por el estudiantes y debe ser entregado en la fecha
indicada en en el programa del curso, o bie por el instructor del laboratorio o el profesor del curso.
Cadareporte de laboratorio debe contener los requisitos siguientes:
1.
Debe ser presentado en un folder tamaño carta, con una carátula que contenga como mínimo los datos
del curso y del estudiante.
2.
El reporte debe ser desarrollado completamente utilizando el programa Mathematica.
3.
El contenido mínimo es:
Introducción
Desarrollo de los ejemplos desarrollados en el laboratorio.
Solución de losejercicios indicados por el profesor del laboratorio
Conclusiones.

Miguel Angel Castillo

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2 Comandos que se aprenderán en este laboratorio
Los comandos que se presentan en este laboratorio son:
Do[expresion[i],{i, imin, imax, ∆i}] evalúa la expresión en términos de i,
1.
para valores de i empezando con i = imin, hasta i = imax, con incrementos para
i de ∆i
2.
D[f[x],x] Calcula la derivada de f[x]con respecto a x
3.
D[f[x],{x,n}]
Calcula la enésima derivada de f[x] con respecto a x
4.
Fit[{(x1,y1),(x2, y2),...,(xn,yn)},{f1(x),f2(x),...,fm(x)},x] construye
una función que se ajusta a la lista de puntos {(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}.
ListPlot[lista]
Representa gráficamente los puntos incluidos en la lista
5.
6.
<< Graphics`ImplicitPlot` abre el paquete que permite dibujar la representacióngráfica
de una ecuación con 2 variables.
ImplicitPlot[ecuación, {x, a, b}, {y, c, d}] Dibuja la representación gráfica
7.
de la ecuación en dos variables, con x en el intervalo [a,b] y y en el intervalo [c,d]

ü 2.1 La definición de derivada

La derivada de una función, f ' HxL, se define como el límite del cociente de las diferencias, es decir
f Hx + hL - f HxL
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ . en los ejemplos 1 y2 se explora este concepto numérica y gráficamente
f ' HxL = lim ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
hØ0
h

ü Ejemplo 1:
1
Dada la función f HxL = - ÅÅÅÅÅ Hx - 4L2 + 6
2
1.1 Defina una función f y evalúela cuando x = 2
Clear@fD; f@x_D := −H1 ê 2L Hx − 4L ^ 2 + 6
f@2D
4

f H2 + hL - f H2L
Defina el cociente de las diferencias como la función gHhL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ,donde h = x1 - x0 , es la
h
diferencia Dx. Utilice el comando Map y TableForm para construir una tabla de valores de la función gHhL para
los siguientes valores de h: -1, -0.5, -0.1, -0.01, 0.01, 0.1, 0.5, 1

1.2

Clear@gD; g@h_D := Hf@2 + hD − f@2DL ê h
lista1 = 8−1, −0.5, −0.1, −0.01, 0.01, 0.1, 0.5, 1<
lista2 = Map@g, lista1D

8−1, −0.5, −0.1, −0.01, 0.01, 0.1, 0.5, 1<
9

5
3
, 2.25, 2.05, 2.005,1.995, 1.95, 1.75,
=
2
2

Matemática Básica 2: Laboratorio 2

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TableForm@8lista1, lista2 −1

−0.5

−0.1

−0.01

0.01

0.1

0.5

5
2

2.25

2.05

2.005

1.995

1.95

1.75

1
3
2

observe como a medida que h se aproxima a 0, la función gHhL se aproxima a 2. Como la función gHhL no es mas
que la pendiente de la recta secante a la curva cuando x = 2, y cuando h tiende a cero la pendiente de la...

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