Laboratorio Estabilidad de sistemas lineales SAC

Laboratorio n°3 – Estabilidad de Sistemas Lineales
1. OBJETIVOS

Aplicación de los criterios de estabilidad de sistemas lineales: criterios de Nyquist y criterio de polos.
Entender la utilidad de los conceptos de márgenes de fase y de ganancia.
Entender los conceptos de estabilidad absoluta y relativa.

2. TRABAJO A REALIZAR
1.- Determine la estabilidad de los siguientes sistemasdados por su función de transferencia a lazo abierto, mediante el criterio de Nyquist. Analizar la estabilidad de las mismas en función del valor del controlador proporcional K. Grafique los diagramas de Nyquist de cada Fo.
a)

Utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist









Una vez que tenemos la parte real y la parte imaginaria, tabulamos:

w
0
∞wre=0= ∞
wim=0=

-2K
0
0
-K

0
0
0
0



Para


El diagrama de Nyquist no envuelve al punto -1 por lo tanto podemos afirmar que será estable.
b)

Utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist








Una vez que tenemos la parte real y la parte imaginaria, tabulamos:

W
0
∞
wre=0= 1.069
wim=0=

5K/4
0
0
-K/9

0
0
-0.73K
0


Paraun K=4

c) El diagrama de Nyquist no envuelve al punto -1 por lo tanto podemos afirmar que será estable.

d)

Utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist




Una vez que tenemos la parte real y la parte imaginaria, tabulamos:

W
0
∞


Re

0
0

Im
∞
0
0
0

Para K=1.5

El diagrama de Nyquist no envuelve al punto -1 por lo tanto podemos afirmar que será estable.e) = a)

f)

Eeemplazamos s = jw, tal que:


(1)



Cuando entonces φ = -π :

Desarrollando:
(2)
Reemplazamos (2) en (1)






Para un K= 1

El diagrama de Nyquist no envuelve al punto -1 por lo tanto podemos afirmar que será estable.

g)


Utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist



Una vez que tenemos la parte real y la parte imaginaria,tabulamos:

W
0
∞


Re
-3k
0
0
-k
Im
∞
0
0
0

Para K= 0.5


El diagrama de Nyquist no envuelve al punto -1 por lo tanto podemos afirmar que será estable.

2.- Dado el siguiente Proceso, determinar el rango de valores de K, para asegurar la estabilidad a lazo cerrado.

Graficar la salida del sistema feedback para un K estable y un K inestable. Asuma usted la amplitud dereferencia.
Hacemos la función de transferencia del sistema a lazo cerrado:

Nuestra ecuación característica será:


Para garantizar la estabilidad la estabilidad a lazo cerrado, hacemos el cálculo de la matriz de Routh de la ecuación anterior, el cual nos proporciona el siguiente resultado:


1
17
300K-10

7.5
9.5+100K
0


300K-10
0



0
0

300K-10
0
0

K puede tomar el rangode valores que se expresa a continuación:



Gráfico de K estable: 0.15

Gráfico de K inestable: 0.45




3.- Asuma un proceso de segundo orden subamortiguado, y establezca los parámetros frecuenciales y temporales para que su proceso no pueda ser controlado por un controlador proporcional.
Proceso subamortiguado con retardo, sin ceros:

De la ecuación debe cumplirse que: ξ debeestar entre 0 y 1. Para que se cumpla que el proceso sea de segundo orden subamortiguado.
Para que el proceso no pueda ser controlado por un controlador proporcional, es decir que sea inestable, el controlador debe ser alto.
Siendo el Kc el controlador proporcional.


Asignamos valores: K= 3, Wn= 2, ξ= 0.6.


Evaluamos:
Cuando no existe retardo siempre será estable con un proporcionalya que su margen de ganancia será infinito ya sea de primer o de segundo orden.

Por la tanto para los requerimientos es necesario que posea un retardo.
Para un retardo igual a 1.


4.- Se tiene un proceso de segundo orden representado por la siguiente función de transferencia:


Evaluar como varia los márgenes de ganancia, fase, overshoot, y tiempo de establecimiento para los...