Laboreatorio de identificacion de sistemas

Predictor de Smith

Uno de los principales problemas de los controladores clásicos, como es el PID, es su comportamiento frente a plantas con un retardo considerable. Este retardo se puede deber a una distancia física entre el proceso y el lugar de medición de la variable, una demora en los actuadores o cualquier otra causa. En general, la forma de solucionar este efecto es reducir la gananciadel controlador a los fines de poder esperar el resultado de la actuación luego del retardo. Si ajustamos un regulador para una planta con y si retardo los parámetros serán completamente distintos. Es obvio que el comportamiento a lazo cerrado del proceso sin retardo será superior al de la planta equivalente con retardo. De aquí la principal idea que surge: ¿Será posible diseñar un regulador demodo tal que la planta con retardo tenga el mismo comportamiento que si no lo tuviera?. La respuesta es afirmativa con la salvedad que no es posible compensar el retardo ya que es intrínseco al proceso pero sí se puede compensar su efecto sobre la realimentación. La idea está basada en que, al conocer el retardo, es posible saber qué es lo que sucederá luego del mismo, es decir podemos predecir elcomportamiento del proceso. El método lleva el nombre del primero en plantearlo, el Predictor de Smith. Veamos como hacer esto. En la Figura 1 mostramos un lazo genérico de control de una planta con retardo en donde se realimenta la salida afectada por la demora. Esto ocasiona un efecto degradante en el comportamiento en lazo cerrado.

1

r = Referencia + Regulador

u = Actuación G(s) +Retardo

y = Salida

Figura 1 – Lazo Genérico de Control de Planta con Retardo

Sería totalmente distinta la conclusión que obtendríamos si pudiéramos hacer lo que muestra la Figura 2, o su equivalente discreto la Figura 3, en donde se separa el retardo del resto de la dinámica.
u = Actuación r = Referencia + Regulador G(s) Retardo y = Salida

Figura 2 – Misma planta separando el retardo

u= Actuación r = Referencia + Regulador G(z) z-d y = Salida

Figura 3 – Planta vista como un modelo discreto

2

En este caso podríamos ajustar el regulador como si la planta no tuviera retardo, elemento que se sumaría a posteriori sin afectar la realimentación. Desafortunadamente, el punto elegido para realimentación es inaccesible pero lo que sí podemos hacer es predecir el valor de lasalida previa al retardo. Esto se consigue realimentando la salida del regulador como muestra la Figura 4. Notemos que el regulador es el obtenido al ajustar el lazo de la planta sin retardo.
R' r = Referencia + + Regulador calculado sin Retardo u = Actuación G(z) z -d y = Salida

-

G(z) z -d

G(z)

Figura 4 – Predicción de salida y realimentación

Ahora demostraremos que el esquema dela Figura 4 es equivalente a tener una realimentación como la de la Figura 3. Para esto recordemos que la función de transferencia en lazo cerrado del sistema sin retardo es de la forma,

M sr ( z ) =

G( z) 1 + R( z ) G ( z )

[1]

al agregarle el retardo, resulta:
-d z G( z) M (z ) = 1 + z − d R ( z ) G( z )

[2]

3

Donde vemos que los polos o la dinámica varía al estar elretardo en el denominador. Si definimos el nuevo regulador R' como el recuadro de la Figura 4 y operamos con álgebra de bloques, su función de transferencia resulta:

R ′( z ) =

R( z) 1 + (1 − z −d ) R ( z )G ( z )

[3]

Aquí R continúa siendo el regulador calculado para la planta sin retardo. Con este nuevo regulador R' la función de transferencia a lazo cerrado será:
-d z G ( z ) R( z ) -d G( z ) R ′( z ) 1 + (1 − z −d ) R ( z )G ( z ) ′( z ) = z - d = [4] M -d 1 + z R ′( z )G ( z ) z G ( z) R( z ) 1+ 1 + (1 − z −d ) R ( z )G ( z )

operando algebraicamente obtenemos,

M ′( z ) =

z G ( z) R( z) = z −d M sr ( z ) −d 1 + z R( z )G ( z )

-d

[5]

Esto significa que la nueva función de transferencia es exactamente igual a la que obtendríamos si la planta no tuviera...