laelipse 10750

La Elipse
Mg. Mat. Diego Yaipén Gonzales

La Elipse es el lugar geométrico de todos los puntos, tales que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos es una constante positiva. Los puntos fijos se
llaman focos , y el punto medio del segmento que une a los focos se llama
centro de la elipse.

F'

F

Segmentos y puntos notables de una
elipse B
2

P

V1

F1
Q

C
B1

F2

V2

El segmento F1F2 quetiene por extremos a los focos
F1 y F2 se llama línea focal o segmento focal de la
elipse, y tiene una longitud igual a 2c. Por lo que, la
distancia del centro C de la elipse a cada uno de los
focos es igual a c.

Los puntos de intersección de la elipse con la línea recta que pasa por los
focos, se llaman vértices de la elipse, y se les denota como V1 y V2.
El segmento V1V2 que tiene por extremos alos vértices V1 y V2 se llama eje
mayor o eje focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2a.
La cuerda B1B2 perpendicular al eje focal por el centro C de la elipse, se llama
eje menor o eje no focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2b.
Cada cuerda PQ perpendicular al eje focal por alguno de los focos de una
elipse, se llama lado recto de la elipse.

El eje focal V1V2 tiene unalongitud igual a 2a, y la distancia del centro a cada
vértice es a; porque:
Por ser V2 punto de la elipse, se tiene que:

B2
a

a
V1

C

F1

F2

c

Sustituyendo F1V2 en la primera relación, se tiene:
Pero: VV
1 2  2CV2  2  CF2  F2V2   2CF2  2F2V2

B2
a

V2

Además: FV
1 2  F1F2  F2V2  2CF2  F2V2

2CF2  2F2V2  2a

B1

F1

FV
1 2  F2V2  2a

Entonces: VV
y CV2  CF2  F2V2  a
1 2  2ab

P  Elipse , F1P  F2P  2a

C

Además, por el teorema de Pitágoras se sigue que:
c 2  a2  b2
ab

Si los focos están sobre el eje de las x, y si el origen es el centro de la elipse;
entonces se tiene el diagrama que sigue, en el que:
PF1  PF2  2a

y

 x  c

P  x, y 

 x  c
x

F1  c,0  0

2

2

  y  0 

  y  0   2a 
2

a
F1

c

 x  c

  y  0   2a
2

 x  c2

  y  0

2

 y2





c 2 x 2  a 4  2a 2cx  a 2 x 2  2cx  c 2  a 2 y 2

b

c
a

C

b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2

B2

2

De donde:
cx  a 2  a

F2  c,0 

 x  c

2


x


a

2

 a2 x 2  a2y 2  a2 c 2  a2

2

 c2

2

 a2 y 2  a2

2

 c2




x2 y 2
 2 1
2
a
b

2

Si el eje focal de la elipse es paralelo al eje x , y si el centro de la elipse es el
punto C  h, k ; entonces se tiene el diagrama que sigue:
y
P  x, y 

k

F1  h  c, k 

0

Por lo que:

h c

C  h, k 

h

F2  h  c, k 

h c

x

PF1  PF2  2a

 x  h  c

2

 y k 

 x  h  c

2

2

  y  k   2a
2

Considerando u  x  h y v  y  k , se tiene que:

 u  c
De donde:

2

v2 

 u  c

2

 v 2  2a

u2 v 2
 2 1
2
a
b

Por tanto la ecuación de la elipse que tieneeje focal paralelo al eje x con
centro en el punto C  h, k  , es:

 x  h
a

2

2

 y k

b

2

2

1

Esta ecuación es la forma estándar o canónica de una elipse horizontal con
centro en C  h, k  . Nótese que si a  b, entonces la forma canónica
corresponde a una circunferencia.

Longitud del lado recto de una elipse
Cada una de las cuerdas perpendiculares al eje focal por los focos deuna elipse, se llama lado recto de la elipse.
En la figura adjunta, el segmento
PQ es lado recto de la elipse, y
se calcula como sigue:

P

F1

F2

Por el teorema de Pitágoras y el
hecho de que PF1  PF2  2a,
se tiene que:

Q
PF  F1 F  PF   2c   PF   2a  PF2 
2
1

2
2

2
2

2

2
2

2

c 2  a2 b2
 4c  PF  PF2 

a
a
2

2
2

Pero P y Q son simétricos respecto al eje focal, entoncesla longitud del lado
recto es:
2b 2
PQ 
a

La excentricidad de la elipse
La forma de ver que tan alargada está una elipse, es mediante su
excentricidad (e), la cual se define como el cociente de la longitud del
segmento focal (2c) entre la longitud del eje focal (2a). O sea:

e

2c c

2a a

Dado que 0  c  a, entonces 0  e  1. Por tanto:
1. Si el valor de c es muy próximo al valor de a,...