Lafuente Geometria

GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVAS
Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO
EUCLIDEO.
Javier Lafuente López
Febrero de 2002

ÍNDICE

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Índice
1. TEORIA DE CURVAS
1.1. CURVAS PLANAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Recta tangente y recta normal . . . . . . . .. . . . . .
1.1.4. Reparametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Trayectorias y trayectorias orientadas. . . . . . . . . .
1.1.6. Sobre la geometría de las curvas . . . . . . . . . . . . .
1.1.7. Curvas conguentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.8. La Geometría intríseca . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.9. Curvas en implícitas . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
1.1.10. Longitud de una Curva. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.11. Parametrización por el arco . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.12. Diedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.13. Determinación diferenciable del ángulo. . . . . . . . . .
1.1.14. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.15. Fórmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
1.1.16. Carácter intrínseco de la curvatura . . . . . . . . . . .
1.1.17. Teorema Fundamental (versión plana) . . . . . . . . .
1.1.18. Cálculos con parámetro arbitrario . . . . . . . . . . . .
1.2. CURVAS EN EL ESPACIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Fórmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Cálculo de la curvatura y la torsión . . . . . . . . . . .
1.2.4. Curvas congruentes. Carácter intrínseco . . . . . . . . .
1.2.5. Cálculos con parámetro arbitrario . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Los planos y rectas del triedro de Frenet . . . . . . . .
1.2.7. Teorema Fundamental (versión tridimensional) . . . . .
1.2.8. Apéndice: Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales

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2. SUPERFICIES: CONCEPTOS BÁSICOS
2.1. Preliminar: Funciones diferenciables . . . . . . . . .
2.2. Aproximación al concepto de superficie. . . . . . . . .
2.2.1. Gráfica de una función . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Ceros de una función . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Teorema (simplificado) de la función implícita
2.2.4. Superficiesparametrizadas. . . . . . . . . . .
2.3. SUPERFICIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Parametrizaciones locales . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Concepto de superficie (regular) . . . . . . . .

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2.3.4. Análisis local de una parametrización. . . . . . . . .
2.3.5. Definiciones equivalentes de superficie . . . . . . . . .
2.3.6. Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7. Compatibilidad de cartas . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. ESPACIOS TANGENTES A SUPERFICIES . . . . . . . . .
2.4.1. Cono tangente a un subconjunto en un punto . . . .
2.4.2. Planovectorial tangente a una superficie en un punto
2.4.3. Cambio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. La diferencial de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Recuerdos de álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Recuerdos de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3. Plano tangente en implícitas . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4. La diferencial . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5. Difeomorfismos entre superficies . . . . . . . . . . . .
2.5.6. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. LAS FORMAS FUNDAMENTALES
3.1. FORMAS BILINEALES EN SUPERFICIES . . . . . . . . .
3.1.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Definición . . . . . . . ....