Lagrange_4 3 2

AIM Quiz

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Interpolación y Aproximación
Question 1

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Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrangecon la siguiente tabla de valores, e
interpolar en el punto x = 1.
xk 3 2 −1
yk 23 15 3
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The teacher's answer was:
5+3 x+x2
This can be entered as:
5+3*x+x^2

Solution:Sabemos que la fórmula de interpolación de Lagrange para los n+1 puntos (xi ,yi ), i=0,…,n, viene dada por: (ver por ejemplo el
tutorial http://pcm.dis.ulpgc.es/an/tutor/lagrange.pdf)
n

p(x) =

∑

n∏

yk

k=0

i=0, i ≠ k

x−xi
xk −xi

n

=

∑

yk Lk (x)

k=0

Dados los puntos (x0,y0) = (3,23), (x1,y1) = (2,15), (x2,y2) = (-1,3), tenemos entonces que los polinomios de Lagrange son los
siguientes:L0(x) =

L1(x) =

L2(x) =

( x−x1 ) ( x−x2 )
( x0−x1 ) ( x0−x2 )

( x−x0 ) ( x−x2 )
( x1−x0 ) ( x1−x2 )

( x−x0 ) ( x−x1 )
( x2−x0 ) ( x2−x1 )

= 1/4 ( x−2 ) ( x+1 ) = 1/4 x2−1/4 x−1/2

= −1/3 ( x−3 )( x+1 ) = −1/3 x2+2/3 x+1

= 1/12 ( x−3 ) ( x−2 ) = 1/12 x2−5/12 x+1/2

El polinomio solución es por tanto:
2

p(x) =

∑

yk Lk (x) = 23 L0(x)+15 L1(x) +3 L2(x) = 5+3 x+x2

k=0

y la gráfica delpolinomio de interpolación y de los puntos (xi ,yi ), i=0,...,2 es la siguiente:

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06/04/2010 05:48 PM

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Si en lugar de obtener el polinomio deinterpolación se quiere interpolar en un punto, o sea, se quiere calcular el valor del
polinomio de interpolación en un punto concreto, basta sustituir la variable "x" de la fórmula por ese valor y realizarlas
operaciones correspondientes. En nuestro caso, si se quiere interpolar en el punto x=1, usando alguna de las expresiones ya
vistas para Lk (x), obtenemos:
L0(1) = −1/2,

L1(1) = 4/3,

L2(1) =1/6

y por tanto:
2

p(1) =

∑

yk Lk (1) = 23 L0(1)+15 L1(1) +3 L2(1) = 9

k=0

Si ya se tuviera el polinomio explícitamente tal como se ha calculado aquí, en potencias de x multiplicadas por sus...