Lagrange

1

Leyes de Newton.

2

Método de Lagrange.

2.1

Restricciones al movimiento.

Un problema con restricciones es de alguna forma intermedio entre uno directo y uno inverso: se conoce parte
de la solución (las restricciones), sin embargo, se desconoce otra parte (las 3n fuerzas de restricción) para
poder obtener la solución completa.
Dadas k restricciones, se tienen 3n ecuaciones demovimiento para un total de 3n+k ecuaciones. Mientras
que el número de incógnitas es 3n coordenadas mas las 3n coordenadas de las fuerzas de constricción. Por lo
tanto, hacen falta 3n − k ecuaciones adicionales para resolver un problema general de ese tipo. A pesar de
eso, normalmente es posible resolver los problemas de constricciones mediante las ecuaciones de Newton al
incluir requisitosadicionales que cumplen las fuerzas de constricción. Para eso es necesario hacer un estudio
y clasicación exhaustva de los tipos de fuerzas de restricción que existen en la realidad.
Aunque las denición de constricciones holonómicas es muy general, físicamente son de interés los tres
tipos básicos siguientes con un sentido físico concreto:
1. Restricción a moverse en una determinada supercieo línea. Las fuerzas asociadas a estas constricciones
son fuerzas normales porque son perpendiculares al movimiento.
2. Separación constante entre las partículas. En este caso hay tensiones y fuerzas internas entre las
partículas.
3. Rodamiento sin resbalar. Este caso ocurre en un disco o esfera que rueda en una supercie. Las fuerzas
de constricción son fuerzas de fricción que hacen que elobjeto ruede (aplicando una torca) dejando
inmovil el punto de contacto con la supercie.
Ejemplos básicos de movimientos con restricciones son (ver Yepez y Yepez):
• Movimiento en un plano inclinado.
• cuenta insertada en un alambre.
• Péndulo en 2D.
• Péndulo en 3D.
• Un par de partículas unidas en forma de una mancuerna.

Se acostumbra clasicar las restricciones al movimiento de unsistema de n partículas como:
• Holonómicas: cuando la restricción se puede expresar como una relación entre las posiciones de las

partículas y el tiempo

0 = h(r1 , r2 , . . . , rn , t)
• No holonómcas: cuando esto no es posible.

En el Yepez de pueden ver diferentes tipos de restricciones noholonómicas.
• particula dentro de una caja.
• partícula que resbala sobre un cascaron esféricoconvexo.
• Rodamiento sin resbalar.

Dado un conjunto de k restricciones holonómicas es posible denir f = 3n − k, variables generalizadas. Se
trata de un conjunto de coordenadas independientes que describen un subconjunto de conguraciones del
sistema sujeto a estas restriciones.

1

Dadas las k restricciones holonómicas
0 = h1 (r1 , r2 , . . . , rn , t),
0 = h2 (r1 , r2 , . . . , rn ,t),

.
.
.
0 = hk (r1 , r2 , . . . , rn , t),

en principio es posible especicar f coordenadas generalizadas, q1 , . . . , qf , que determinan todas las posiciones
de las partículas mediante las funciones
r1 = g1 (q1, q2 , . . . , qf , t)
r2 = g2 (q1, q2 , . . . , qf , t)

.
.
.
rn = gn (q1, q2 , . . . , qf , t).
2.2

Desplazamiento virtual.

Una funcion g que depende de lasvariables u, v, t tiene por diferencial virtual la cantidad
δg =

∂g
∂g
δu +
δv,
∂u
∂v

donde δu y δv son diferenciales de las respectivas variables. Compare con la diferencial total de g ,
dg =

∂g
∂g
∂g
du +
dv +
dt.
∂u
∂v
∂t

Si la posicion de la i-esima partícula, ri , se da como función de las coordenadas generalizadas y el tiempo,
ri = gi (q1, q2 , . . . , qf , t),un desplazamiento virtual de la particula i se dene de la forma
∂gi
δqj .
∂qj

δri =
j

Se trata de un desplazamiento compatible con las constricciónes pero solo en el momento especíco t. La
utilidad de este tipo de desplazamiento surge porque las fuerzas de restricción son perpendiculares a los
desplazamientos virtuales. Un hecho que encontró y postuló D'Alembert.
En lo que sigue...