Lagrange

Universidad de las Fuerzas Armadas - ESPE
Departamento de Ciencias Exactas
C´alculo Vectorial
Sun Ho Lee Mac´ıas
NRC 2033

Multiplicadores de Lagrange
Para optimizar funciones de la forma f (x, y, z)por el m´etodo de multiplicadores de
Lagrange se requiere de una condici´on de la forma g(x, y, z) = k , que puede describir el
l´ımite de una regi´
on.
El m´etodo de Lagrange para del teorema queexpone que los vectores normales (representados por el gradiente de una funci´on ∇f ) son tangentes a toda curva de nivel (para
funciones provenientes de R2 )) y tangentes a toda superficie de nivel(para funciones provenientes de R3 ).
Partiendo de este teorema tendremos que un punto perteneciente a alguna curva o superficie de nivel el gradiente de la funci´
on a optimizar (f (x, y, z)) ser´aparalelo a una funci´on
de condici´
on (g(x, y, z) = k), representado por la siguiente ecuaci´on:
∇f = λ∇g
Esta ecuaci´
on se puede desarrollar como 3 ecuaciones independientes:
fx , fy , fz = λ gx , gy ,gz → fx = λgx ; fy = λgy ; fz = λgz
Al tener 4 inc´
ognitas (x, y, z y λ) nos hace falta una ecuaci´on m´as para poder formar un
sistema cuadrado de soluci´
on u
´nica, esta ecuaci´on ser´a lafunci´on condici´on g(x, y, z) = k.
Al resolver el sistema obtendremos los valores de x, y, z y λ. Al reemplazar los valores
de x, y y z en nuestra funci´
on f obtendremos el punto m´aximo o m´ınimo. Estecriterio
aplica para funciones existentes en n + 1 dimensiones (f : Rn → R) con m inc´ognitas ya
que obtendremos siempre un sistema con m ecuaciones que nos provea una soluci´on u
´nica
(Las m inc´ognitas vienen dadas por las m-´esimas condiciones existentes para la funci´on a
optimizar).

Ejemplo
Hallar los valores m´
aximos y m´ınimos para f (x, y, z) = xyz contenidos dentro de
x + y + z = 1.Asuma que x, y, z ≥ 0.
Resoluci´
on
Primero observamos que nuestra condici´on requiere que la suma de 3 n´
umeros positivos
o el cero sea igual a 1. Por lo tanto nuestra soluci´on estar´a dentro del...