Laks

MATEMATICA 2


GUÍA DE ESTUDIO




[pic]


FUNCIONES


0. Producto cartesiano
1. Relación binaria
2. Definición de función: dominio , rango y gráfico de una función
3. Función real de una variable real
4. Funciones elementales
5. Operaciones con funciones
6. Función inyectiva yFunción inversa.
7. Ejercicios y problemas

ING. JORGE CACERES TRIGOSO
Lima -2012
RESUMEN TEÓRICO


PRODUCTO C ARTESIANO

El producto cartesiano (en honor a su inventor, René Descartes) de dos conjuntos es el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer elemento pertenece a A, y cuyo segundo elemento pertenece a B. Matemáticamente: A×B = {(a,b): a є A, b є B}. Cabedestacar que no es lo mismo (a,b) que (b,a), de ahí que se diga que son pares ordenados.
Por ejemplo: Sea C = {basto, oro, copa, espada} y V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12}, entonces V×C = {(1, basto), (2, basto), ... ,(1, oro), ... ,(12, espada)}, es decir, V×C es el conjunto de todos los naipes.
El cardinal —o sea, el número de elementos— del producto cartesiano es el producto de loscardinales de los conjuntos: |A×B| = |A|·|B|. En el ejemplo anterior, 4 colores por 10 valores dan 40 naipes.
Por inducción inmediata, el producto se generaliza a un número cualquiera de conjuntos: Se define A×B×C por (A×B)×C, o por A×(B×C), que es lo mismo pues el producto cartesiano es asociativo, y más generalmente: A1×A× ... ×An = {(a1,a2,... ,a1), a1 є A1, ... ,an є An}.
Se admite la notaciónpotencial: An = A×A× ... ×A, con n factores.
Por ejemplo:
• R² es el plano real usual.
• R³ es el espacio tridimensional usual, visto como un conjunto de puntos o como un espacio vectorial.
Se puede generalizar aún más el producto cartesiano a un número infinito de conjuntos: PAi es el conjunto de las sucesiones (ai), con ai en Ai, para todo i natural.
Elinterés teórico del producto cartesiano es enorme: con él se construyen conjuntos cada vez más elaborados a partir de conjuntos sencillos. Otra operación muy productiva, que se parece a una división de conjuntos, es el cociente de un grupo por un subgrupo, o de un espacio vectorial por un subespacio, o un álgebra por una subálgebra...

Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremosla representación cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B,los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepción que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelasal eje horizontal.


Ver la representación del ejemplo

[pic]
Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagrama de árbol
[pic]


tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementos del conjunto A por los del conjunto B

Podemos saber el número de elementos de un producto cartesiano formado por n conjuntos,multiplicando el número de elementos de cada uno de los conjuntos que intervienen


card(AXB....Z)=card(A)card(B).....Card(Z)

RELACIONES BINARIAS

Se llama relación binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A

Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son:

Reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva

Reflexiva

Se llama relación reflexiva cuando unelemento esta relacionado con sigo mismo y se escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto.

Simétrica

Se llama relación simétrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta relacionado con el elemento b, entonces el elemento b esta relacionado con el elemento a.

Antisimétrica

Se llama relación antisimétrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta...