Lala

Universidad de la Frontera
Ingenier´ Inform´tica ıa a
Sebasti´n Lagos, Mauricio Rodr´ a ıguez, Emilia Rubilar

Temuco, 31 de marzo de 2011

C´lculo con a A L TEX

Derivadas

Profesor: V´ ıctor Vargas

1

Derivadas
Definici´n: Sea f (x) = y una funci´n, donde x un o o punto. Definimos la derivada de f en el punto x = x0 , como se denota f (x0 ). f (x0 ) = l´ ım Siempre f (x0 + h) − f(x0 ) h→0 h

que este l´ ım exista. Gr´ficamente a representa la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (x0 , f (x0 )) y (x0 + h, f (x0 + h)) .
f (x0 +h)−f (x0 ) h

En cambio, l´ ım

h→0

f (x0 +h)−f (x0 ) h

representa la pendiente Figura 1: Derivada de una
funci´n en un punto. o

de la recta tangente a y = f (x) en el punto x = x0 . ´ Esta ultima expresi´ncorresponde a la definici´n de ´ o o f (x0 ). Notaci´n: f (x) tambi´n se puede escribir como o e dy d , f (x), y (x), dx (f (x)), Dx y ; si y = f (x) y se lee: dx “la derivada de y (o de f(x)) respecto de la variable x”.

Derivadas Laterales
o Derivada por la izquierda de la funci´n Derivada por la derecha de la funci´n o f (x) en x = x0 se define como: f (x) en x = x0 se define como: f (x− ) = l´ − ım 0h→0

f (x0 + h) − f (x0 ) h

f (x+ ) = l´ + ım 0
h→0

f (x0 + h) − f (x0 ) h

es decir, h tiende a cero, siendo h < 0.

es decir, h tiende a cero, siendo h > 0.

Una funci´n continua es derivable en un punto, si sus derivadas laterales o existen y son iguales.

2

Derivabilidad y Continuidad
Definici´n: Para que una funci´n sea derivable en un punto es necesario que sea continua o oen dicho punto. La Continuidad es una condici´n necesaria de derivabilidad; no es condici´n suficiente. Es o o decir, una funci´n puede ser continua en un punto y no ser derivable en ´l. o e Derivable ⇒ Continua No Continua ⇒ No Derivable

Derivada de Orden Superior
Debido a que la derivada f (x) de una funci´n f (x) es tambi´n una funci´n, se le puede o e o (2) derivar en forma sucesiva paraobtener la segunda derivada f (x) o Dx , la tercera deri(3) vada f (x) o Dx y as´ sucesivamente. Se designa por f (n) la derivada de orden n. ı
 d2 2  dx   d3   dx3    4  d  dx4  .  .  .  .  .  .

derivada de segundo orden derivada de tercer orden derivada de cuarto orden . . . . . . derivada de orden n

                

dn dxn

Interpretaci´n de laderivada o
Geom´tricamente, la derivada determina la pendiente de la recta tangente a la curva e y = f (x) en el punto (x, f (x)). La ecuaci´n de la recta tangente a la curva y = f (x) o en un punto espec´ ıfico de ella, (x1 , x2 ), es: y − y1 = f (x1 )(x − x1 ) En una ecuaci´n de movimiento s = s(t), donde s es posici´n en el tiempo t, entonces o o ds la derivada dt determina la velocidad instant´neaen el tiempo t. a Tambi´n puede interpretarse la derivada dx como tasa de variaci´n o raz´n de e o o cambio (instant´nea) de y con respecto a x. a Para cualquier funci´n la tasa de variaci´n relativa de f (x) es f (x) que compara la o o raz´n de cambio de f (x) con la propia f (x). o La tasa de variaci´n porcentual es f (x) · 100 o 3
f (x) f (x) dy

F´rmulas de Derivaci´n m´s comunes o o a
f(x) = no → f (x) = 0 f (x) = x → f (x) = 1 f (x) = xn → f (x) = nxn−1 f (x) = ln(x) → f (x) = f (x) = ex → f (x) = ex f (x) = sen(x) → f (x) = cos(x) f (x) = cos(x) → f (x) = −sen(x)
1 x

f (x) = tg(x) → f (x) = sec2 (x) f (x) = sec(x) → f (x) = sec(x)tg(x) (f (x) + g(x)) = f (x) + g (x) (f (x) − g(x)) = f (x) − g (x) ( f (x) ) = g(x)
g(x)f (x)−f (x)g (x) (g(x))2

(nf (x)) = nf (x) , n= cteRegla de L’Hopital
1. Las formas indeterminadas del tipo 0 , ∞ . Si las funciones f (x) y g(x) son derivables 0 ∞ en un cierto entorno del punto x0 , excepto, quiz´s en el propio punto x0 y g (x) = 0 a y si l´ f (x) = l´ g(x) = 0 o l´ f (x) = l´ g(x) = ∞ ım ım ´ ım ım
x→x0 x→x0 x→x0 x→x0

entonces l´ ım x→x
0

f (x) f (x) = x→x l´ ım 0 g (x) g(x)

siempre que este ultimo l´ ´ ımite...