lalal

La serie de Taylor
Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y
x, entonces el valor de la función esta dado por:

f ( x ) = f ( a ) + f ' (a )( x − a ) +

f ' ' (a )
f ' ' ' (a)
f n (a )
( x − a)2 +
( x − a )3 + ... +
( x − a)n
2!
3!
n!

Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = xi+1 - xiexpresando la serie de Taylor como:
f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ' ( xi )h +

f ' ' ( xi ) 2 f ' ' ' ( xi ) 3
f n ( xi ) n
h +
h + ... +
h
2!
3!
n!

Uso de la expansión en serie de Taylor para aproximar una función con un número
infinito de derivadas.
Utilizar los términos de la serie de Taylor con n= 0 hasta 6 para aproximar la función f(x) =
cos(x) en xi+1 = π/3 y sus derivadas en xi= π/4. Esto significa que h = π/3- π/4 = π/12, los
valores de las derivadas y el error de aproximación se presenta en la siguiente tabla.
Orden n
0
1
2
3
4
5
6

fn(x)
cos(x)
-sen(x)
-cos(x)
sen(x)
cos(x)
-sen(x)
-cos(x)

fn(π/4)
0.707106781
0.521986659
0.497754491
0.499869147
0.500007551
0.500000304
0.499999988

error (%)
-41.4
-4.4
0.449
2.62x10-2
-1.51x10-3-6.08x10-5
2.40x10-6

Note, que a medida que se introducen más términos, la aproximación se vuelve más exacta
y el porcentaje de error disminuye. En general podemos tener una aproximación polinomial
de la función coseno, con sus derivadas en cero dada por
Orden n
0
1
2
3
4
5
6
7

fn(x)
cos(x)
-sen(x)
-cos(x)
sen(x)
cos(x)
-sen(x)
-cos(x)
sen(x)
127

fn(0)
1
0
-1
0
10
-1
0

8
9
10

cos(x)
-sen(x)
-cos(x)

1
0
-1

La aproximación polinomial final queda:

f ( x) = 1 −

1 2 1 4 1 6 1 8 1 10
x + x − x + x −
x + ...
2
4!
6!
8!
10!

La implementación en Java es:
class funciones
{
public static double coseno(double x)
{
int i;
double s = 0;
int signo = 1;
for(i=0; i=0; i--)
p = p*x + a[i];
return p;
}
public static doubleEvaluaDerivada(double a[], double x)
{
int n = a.length, i;
double df = 0;
for(i=n-2; i>=0; i--)
df = df*x + a[i+1]*(i+1);
return df;
}
public static void DivisionSintetica(double a[], double b[], double s)
{
int n = a.length, i;
b[n-1] = a[n-1];
for(i=n-2; i>=0; i--)
b[i] = a[i] - b[i+1] * s;
for(i=n-1; i>0; i--)
System.out.print(b[i] + " ");
System.out.println( "residuo = " +
}
}Regresar.

Método de Müller.

150

b[0]);

El método de la secante obtiene raíces de una función estimando una proyección de una
línea recta en el eje de las x, a través de los valores de la función. El método de Müller,
trabaja de manera similar, pero en lugar de hacer la proyección de una recta utilizando dos
puntos, requiere de tres puntos para calcular una parábola.
Para estonecesitaremos de tres puntos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)] y [x2, f(x2)]. La
aproximación la podemos escribir como:
f2(x) = A(x – x2)2 + B(x – x2) + C
Los coeficientes de la parábola los calculamos resolviendo el siguiente sistema de
ecuaciones.
f2(x0) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2) + C
f2(x1) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2) + C
f2(x2) = A(x2 – x2)2 + B(x2 – x2) + C
De la última ecuación podemos ver queel calor de C = f2(x2). Sustituyendo los valores de C
en las otras dos ecuaciones tenemos
f2(x0)- f2(x2) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2)
f2(x1) - f2(x2) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2)
Si definimos
h0 = x1 - x0
h1 = x2 – x1
d0 = [f(x1) – f(x0)]/[x1 – x0]
d1 = [f(x2) – f(x1)]/[x2 –x1]
Sustituyendo en las ecuaciones tenemos
-(d0* h0 + d1* h1)= A(h1 + h0 )2 - B(h1 + h0 )
-d1* h1 = A(h1)2 - Bh1
Lasolución de este sistema de ecuaciones es:
A = (d1 – d0)/(h1 + h0)
B = Ah1 + d1
C = f(x2)
Ahora para calcular la raíz del polinomio de segundo grado, podemos aplicar la formula
general. Sin embargo, debido al error potencial de redondeo, usaremos una formulación
alternativa.

151

Ejemplo.
Use el método de Müller con los valores iniciales de 4.5, 5.5 y 5 para determinar la raíz de
la...