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Fisicas Químicas TRIGONOMETRÍA LEY DE SENOS Y DE COSENOS página 89
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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
5.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES
Todos los triángulos constan de seis elementos primarios que son tres ángulos y tres lados. Re- solver un triángulo significa encontrar algunos o todos los elementos del triángulo a partir de tres deellos conocidos, siempre y cuando esos tres no sean los tres ángulos. Esto significa que los tres elementos conocidos pueden ser
# los tres lados, # dos lados y un ángulo, # un lado y dos ángulos.
Las definiciones de las funciones trigonométricas tienen su origen en triángulos rectángulos, tal y como se manejó en el párrafo 1.2 de la página 3, o en el 1.3.2 de la página 11, esto es que el senoes el cateto opuesto entre la hipotenusa, el coseno es el cateto adyacente entre la hipotenu- sa, la tangente es el cateto opuesto entre el cateto adyacente, etc. Podría decirse que inicialmente con ellas se podían resolver solamente triángulos rectángulos. Sin embargo, no solamente los triángulos rectángulos pueden resolverse con dichas funciones, aunque su origen esté allí, sino también los queno son rectángulos.
Existen dos leyes muy importantes de la trigonometría con las cuales puede resolverse todo tipo de triángulos. Son la ley de los senos y la ley de los cosenos.
5.2 LEY DE LOS SENOS
La ley de los senos es aplicable a cualquier triángulo si dentro de los tres elementos conocidos se tiene “el par” un lado y su ángulo opuesto conocidos, pudiendo ser el tercer elementoconoci- do otro lado o bien otro ángulo.
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En todo triángulo se cumple que
Un lado cualquiera entre el seno de su ángulo opuesto es igual a otro lado cualquiera entre el seno de su ángulo opuesto.
α
a
b
d
a
d
b
β δ
α
δβ
figura 32
29
b
36
21
β δ
figura 33
La utilización de la ley de los senos, por ser más simple y menos laboriosa,se prefiere sobre la ley de los cosenos. Con ella se puede calcular algún lado o algún ángulo desconocido.
La ley de los senos dice que:
Respecto de la figura 32, en cualquiera de los dos trián- gulos, conforme a la ley anterior, se cumple que
abd sen sen sen α βδ ==
Al aplicar esta ley solamente se toma un signo igual y la fracción que se escribe en el lado izquierdo debe ser la del ladoconocido entre el seno de su ángulo opuesto co- nocido, que en los ejemplos siguientes se les llamará "par conocido", y en el lado derecho del signo igual debe ponerse la fracción que incluya al tercer elemento cono- cido, es decir, al lado o ángulo restante conocido.
Ejemplo 1: Resolver el triángulo de la figura 33.
solución: El par conocido lado-ángulo opuesto, es el lado que mide 29 y su ánguloopuesto de 21 grados. Con ellos se formará fracción del lado izquierdo del signo igual. El tercer elemento conocido es el lado que mide 36, de manera que la fracción del lado derecho del signo igual se construirá con ese lado y su ángulo opuesto.
29 36 21 sen sen δ =
Para despejar sen δ , deben quitarse primero los dos denominadores, lo cual se logra multipli- cando toda la igualdadsimultáneamente por
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26415 . δ
=
sen 21 y por sen δ , conforme a la ley de las igualdades o ley uniforme que dice que "lo que se haga de un lado debe hacerse del otro lado para que la igualdad se conserve". Re- cordar que es falso que “pasan” al otro lado a multiplicar:
( )( ) ( )( ) 29 36 21 21 21 sen sen sen sen sen sen δδ δ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
29 36 21 sen sen δ =
dividiendo todo entre 29 para despejar sen y recordando que es falso que “pasa” al otro lado a dividir.
29 36 21 29 29 sen sen δ =
realizando las operaciones indicadas en el lado derecho y despejando :
sen = 0.444870557 = arc sen 0.444870557
En este momento se llevan conocidos dos ángulos, de manera que el tercero se obtiene por simple...