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REGLA DE SIMPSON
x0x2fxdx= h3 fx0+4fx1+fx2-h590f4ξ.
Dado que el término de error contiene la cuarta derivada de f , la regla de Simpson proporciona resultados exactos al aplicarla a un polinomio cualquiera de grado tres o de grado menor.
Fórmulas cerradas comunes de Newton-Cotes:
n=2: regla de Simpson
x0x2fxdx= h3 fx0+4fx1+fx2-h590f4ξ. Donde x0<ξ<x2.n=3: regla de tres octavos de Simpson
x0x3fxdx= 3h8 fx0+3fx1+3fx2+f(x3)-3h580f4ξ. Donde x0<ξ<x3.

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener otra estimación más exacta de una integral, es la de utilizar polinomios de orden superior para conectar puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre fa Yf(b), entonces se pueden conectar los tres puntos con una parábola:

a) Representación gráfica de la regla de Simpson de 1/3: consiste en tomar el área bajo una parábola que una los puntos.

Si hay dos puntos espaciados entre fa y f(b), entonces los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden:
b) Representación gráfica de la regla de Simpson de 3/8: consiste en tomar elárea bajo una ecuación cúbica que conecta 4 puntos.


A las fórmulas resultantes de de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
REGLA DE SIMPSON DE 1/3
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de de segundo orden en la ecuación
I=abfxdx ⋍ abf2xdx
Si a y b se denominan como x0 y x2, y f2x se representa mediante un polinomio deLagrange de segundo orden, entonces la integral es:
I= x0x2x-x1x-x2x0-x1x0-x2fx0+ x-x0x-x2x1-x0x1-x2fx1+x-x0x-x1x2-x0x2-x1f(x2)dx
Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:
I⋍h3 fx0+4fx1+f(x2)
Donde, en este caso, h=(b-a)2 .Esta ecuación se conoce como regla de Simpson de 1/3. Esta es la segunda fórmula de integración de Newton-Cotes. La etiqueta “1/3” vienede que h se divide por 3 en la ecuación anterior.
La regla de Simpson de 1/3 se puede expresar con la siguiente ecuación:

En donde a=x0, b=x2 y x1 es el punto medio entre a y b, dado por (b+a)2.
Nótese que de acuerdo a la ecuación anterior, el punto medio se pesa con 2/3 y los dos extremos con 1/6. Se puede demostrar que una simple aplicación de la regla de Simpson de 1/3 tiene un errorde truncamiento de:
Eu= -190h5f4ξ.

O, ya que h=(b-a)2 entonces: Eu= -(b-a)52880f4ξ.
En donde ξ cae en algún lugar dentro del intervalo de a y b. Por lo tanto la regla de Simpson de 1/3 es más exacta que la regla trapezoidal. En vez de ser proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta derivada. Esto se debe a que, loscoeficientes del término de tercer orden se anulan durante la integración del polinomio de interpolación. En consecuencia, la regla de Simpson de 1/3 es exacta hasta tercer orden aunque esté basada únicamente en tres puntos.
REGLA DE SIMPSON DE 1/3 DE SEGMENTOS MULTIPLES
La regla de Simpson se puede mejorar dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual anchura
Representación gráfica deluso de segmentos múltiples sobre la regla de Simpson de 3/8. Nótese que el método solo se puede emplear si el número de segmentos es par.

h=b-an
La integral total se representa como:
I= x0x2fxdx+x2x4fxdx+…+xn-2xnfxdx
Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:
I ⋍2hfx0+4fx1+ f(x2)6+2h fx2+4fx3+ f(x4)6+…+2hfxn-2+4fxn-1+ f(xn)6
O, reordenando lostérminos y usando la siguiente ecuación: h=b-an se obtiene:

f(x0)+4i=1,3,5n-1fxi+2j=2,4,6n-2f(xj)+f(xn)

3n

I ≃b-a

Al tura Promedio
Ancho



Nótese que, como se muestra en la figura anterior, se debe usar un número par de segmentos para implementar este método. Un error estimado por la regla de Simpson de segmentos múltiples se obtiene de la...