laliilo
Páginas: 12 (2773 palabras)
Publicado: 21 de mayo de 2014
Relaciones y funciones
Sección 5.1
2 Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 5} da ejemplos de (a) tres relaciones no vacíos de A a B; (b) tres relaciones no vacíos en A.
5 Sean A, B, C, D conjuntos no vacíos.
a) Demostrar que A x B x C ⊆ D si y sólo si A ⊆ C y B ⊆ D.
b) ¿Qué sucede con el resultado de la parte (a) si alguno de los conjuntos A, B, C, D está vacía?
8 Se han tomado chips lógicosde un recipiente, que se prueban individualmente y se etiquetan en defectuosos o buenos. El proceso de prueba se continúa hasta que se encuentren bien dos chips defectuosos o cinco fichas se ponen a prueba en total. Usando un diagrama de árbol, exhibir un espacio de muestra para este proceso.
11 Para A, B, C ⊆ U, demostrar que:
A x (B - C) = (A x B) - (A x C).
14 a) Dar una definiciónrecursiva para la relación R ⊆ Z⁺ x Z⁺ donde (m, n) ∈ R si (y sólo sí) m ≥ n.
b) A partir de la definición de la parte (a) verificar que (5, 2) y (4, 4) están en R.
Sección 5.2
2 ¿La fórmula ƒ (x) = 1 / (x² - 2) definen una función ƒ: R → R? ¿Una función ƒ: Z → R?
5 Sea A, B, C ⊆ R² donde A = {(x, y) | y = (2x + 1), B = {(x, y) | y = 3x, y C = {(x, y) | x - y = 7. Determinar losiguiente:
a) A ∩ B
b) A ∪ C
c) B ∩ C
d) B ∪ C
8 Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si la declaración es falsa, proporcione un contraejemplo.
a) [a] = [a] para todo a ∈ Z.
b) [a] = [a] para todo a ∈ R.
c) [a] = [a] – 1 para todo a ∈ R - Z.
d) -[a] = [-a] para todo a ∈ R.
11 a) Encuentra todos los números reales x donde [3x] = 3 [x].
b) Sea n ∈ Z˖,donde n > 1. Determinar todo x ∈ R tal que [nx] = n[x].
14 Sean a1, a2, a3, ... la secuencia de enteros se define recursivamente por:
1) a1 = 1.
2) Para todo n ∈ Z⁺, donde n ≥ 2 an = 2a [n / 2].
Determinar a n, para todos 2 ≤ n ≤ 8.
17 Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {w, x, y, z}, A1 = {2, 3, 5} ⊆ A, y g: A1 → B. ¿De cuántas maneras g puede extenderse a una función ƒ: A → B?
20 Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y hay 6720 funciones inyectivas ƒ: A → B, ¿Qué es |B|?
23 Determinar la función de acceso ƒ(aij), como se describe en el Ejemplo 5.10 (d), para una matriz A = (aij) mxn, donde (a) m = 12, n = 12, (b) m = 7, n = 10, (c) m = 10, n = 7.
26 El siguiente ejercicio proporciona una prueba combinatoria de una fórmula de suma que hemos visto en los cuatro primeros resultados: (1)Ejercicio 22 en la Sección 1.4, (2) Ejemplo 4.4, (3) el Ejercicio 3 en la sección 4.1, y (4) el Ejercicio 19 de la sección 4.2.
Sea A = {a, b, c], B = {1, 2, 3,..., n, n + 1}, y S = {ƒ: A → B | ƒ(a) < ƒ(c) y ƒ(b) < ƒ(c)}.
a) Si S1 = {ƒ: A → B | ƒ ∈ S y ƒ(c) = 2}, ¿Qué es |S1|?
b) Si S2 = {ƒ: A → B | ƒ ∈ S y ƒ(c) = 3}, ¿Qué es |S2|?
c) Para 1 ≤ i ≤ n, sea S1 = {ƒ: A → B | ƒ ∈ S y ƒ(c) = i + 1},¿Qué es |S1|?
d) Sea T1 = {ƒ: A → B | ƒ ∈ S y ƒ(a) = ƒ(b). Explicar por qué |T1| = ( ).
e) Sea T2 = {ƒ: A → B | ƒ ∈ S y ƒ(a) < ƒ(b) and T3 = {ƒ: A → B | ƒ ∈ S y ƒ(a) > ƒ(b). Explicar por qué |T2| = |T3| = ( ).
f) ¿Qué podemos concluir acerca de los conjuntos S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ ... ∪ Sn y T1 ∪ T2 ∪ T3?
g) Utilizar los resultados de las partes (c), (d), (e) y (f) para verificar que:
Sección5.3
2 Para cada una de las siguientes funciones ƒ: Z → Z, determinar si la función es uno a uno y si es sobre. Si la función no es sobre, determinar el rango de ƒ(Z).
a) ƒ(x) = x + 7
b) ƒ(x) = -x + 5
c) ƒ(x) = x² + x
d) ƒ(x) = 2x - 3
e) ƒ(x) = x²
f) ƒ(x) = x³
5 Verificar que para n = 5 y m = 2, 3, 4.
8 Un químico que tiene cinco asistentes se dedica a un proyecto de investigación querequiere nueve compuestos que se deben sintetizar. ¿De cuántas maneras puede el químico asignar estas síntesis de los cinco asistentes para que cada uno esté trabajando en al menos una síntesis?
11 Determinar las dos siguientes filas (m = 9, 10) de la Tabla 5.1 para los números de Stirling S(m, n), donde 1 ≤ n ≤ m.
14 Escriba un programa informático (o desarrollar un algoritmo) para...
Sección 5.1
2 Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 5} da ejemplos de (a) tres relaciones no vacíos de A a B; (b) tres relaciones no vacíos en A.
5 Sean A, B, C, D conjuntos no vacíos.
a) Demostrar que A x B x C ⊆ D si y sólo si A ⊆ C y B ⊆ D.
b) ¿Qué sucede con el resultado de la parte (a) si alguno de los conjuntos A, B, C, D está vacía?
8 Se han tomado chips lógicosde un recipiente, que se prueban individualmente y se etiquetan en defectuosos o buenos. El proceso de prueba se continúa hasta que se encuentren bien dos chips defectuosos o cinco fichas se ponen a prueba en total. Usando un diagrama de árbol, exhibir un espacio de muestra para este proceso.
11 Para A, B, C ⊆ U, demostrar que:
A x (B - C) = (A x B) - (A x C).
14 a) Dar una definiciónrecursiva para la relación R ⊆ Z⁺ x Z⁺ donde (m, n) ∈ R si (y sólo sí) m ≥ n.
b) A partir de la definición de la parte (a) verificar que (5, 2) y (4, 4) están en R.
Sección 5.2
2 ¿La fórmula ƒ (x) = 1 / (x² - 2) definen una función ƒ: R → R? ¿Una función ƒ: Z → R?
5 Sea A, B, C ⊆ R² donde A = {(x, y) | y = (2x + 1), B = {(x, y) | y = 3x, y C = {(x, y) | x - y = 7. Determinar losiguiente:
a) A ∩ B
b) A ∪ C
c) B ∩ C
d) B ∪ C
8 Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si la declaración es falsa, proporcione un contraejemplo.
a) [a] = [a] para todo a ∈ Z.
b) [a] = [a] para todo a ∈ R.
c) [a] = [a] – 1 para todo a ∈ R - Z.
d) -[a] = [-a] para todo a ∈ R.
11 a) Encuentra todos los números reales x donde [3x] = 3 [x].
b) Sea n ∈ Z˖,donde n > 1. Determinar todo x ∈ R tal que [nx] = n[x].
14 Sean a1, a2, a3, ... la secuencia de enteros se define recursivamente por:
1) a1 = 1.
2) Para todo n ∈ Z⁺, donde n ≥ 2 an = 2a [n / 2].
Determinar a n, para todos 2 ≤ n ≤ 8.
17 Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {w, x, y, z}, A1 = {2, 3, 5} ⊆ A, y g: A1 → B. ¿De cuántas maneras g puede extenderse a una función ƒ: A → B?
20 Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y hay 6720 funciones inyectivas ƒ: A → B, ¿Qué es |B|?
23 Determinar la función de acceso ƒ(aij), como se describe en el Ejemplo 5.10 (d), para una matriz A = (aij) mxn, donde (a) m = 12, n = 12, (b) m = 7, n = 10, (c) m = 10, n = 7.
26 El siguiente ejercicio proporciona una prueba combinatoria de una fórmula de suma que hemos visto en los cuatro primeros resultados: (1)Ejercicio 22 en la Sección 1.4, (2) Ejemplo 4.4, (3) el Ejercicio 3 en la sección 4.1, y (4) el Ejercicio 19 de la sección 4.2.
Sea A = {a, b, c], B = {1, 2, 3,..., n, n + 1}, y S = {ƒ: A → B | ƒ(a) < ƒ(c) y ƒ(b) < ƒ(c)}.
a) Si S1 = {ƒ: A → B | ƒ ∈ S y ƒ(c) = 2}, ¿Qué es |S1|?
b) Si S2 = {ƒ: A → B | ƒ ∈ S y ƒ(c) = 3}, ¿Qué es |S2|?
c) Para 1 ≤ i ≤ n, sea S1 = {ƒ: A → B | ƒ ∈ S y ƒ(c) = i + 1},¿Qué es |S1|?
d) Sea T1 = {ƒ: A → B | ƒ ∈ S y ƒ(a) = ƒ(b). Explicar por qué |T1| = ( ).
e) Sea T2 = {ƒ: A → B | ƒ ∈ S y ƒ(a) < ƒ(b) and T3 = {ƒ: A → B | ƒ ∈ S y ƒ(a) > ƒ(b). Explicar por qué |T2| = |T3| = ( ).
f) ¿Qué podemos concluir acerca de los conjuntos S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ ... ∪ Sn y T1 ∪ T2 ∪ T3?
g) Utilizar los resultados de las partes (c), (d), (e) y (f) para verificar que:
Sección5.3
2 Para cada una de las siguientes funciones ƒ: Z → Z, determinar si la función es uno a uno y si es sobre. Si la función no es sobre, determinar el rango de ƒ(Z).
a) ƒ(x) = x + 7
b) ƒ(x) = -x + 5
c) ƒ(x) = x² + x
d) ƒ(x) = 2x - 3
e) ƒ(x) = x²
f) ƒ(x) = x³
5 Verificar que para n = 5 y m = 2, 3, 4.
8 Un químico que tiene cinco asistentes se dedica a un proyecto de investigación querequiere nueve compuestos que se deben sintetizar. ¿De cuántas maneras puede el químico asignar estas síntesis de los cinco asistentes para que cada uno esté trabajando en al menos una síntesis?
11 Determinar las dos siguientes filas (m = 9, 10) de la Tabla 5.1 para los números de Stirling S(m, n), donde 1 ≤ n ≤ m.
14 Escriba un programa informático (o desarrollar un algoritmo) para...
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