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Descripción
El método de las aproximaciones sucesivas es uno de los procedimientos más importantes y más sencillos de codificar. Supongamos la ecuación

donde f(x) es unafunción continua que se desea determinar sus raíces reales. Se sustituye f(x) por la ecuación equivalente

Se estima el valor aproximado de la raíz x0, y se sustituye en el segundomiembro de la ecuación para obtener x1.

Poniendo x1 como argumento de j(x), obtendremos un nuevo número x2, y así sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula.(1)
Si esta secuencia es convergente es decir, tiende hacia un límite, la solución x es



El método de iteración se explica geométricamente mediante el gráfico de la figura.Se dibuja la curva y=j(x), y la recta y=x, bisectriz del primer cuadrante. La abscisa x del punto de intersección es la raíz buscada.
La condición de finalización
Primero,introducimos el valor inicial x, la primera aproximación, calculamos el valor del coseno de x, el valor devuelto (segunda aproximación), lo guardamos de nuevo en la variable x, yrepetimos el proceso indefinidamente. El código aunque correcto, necesita terminarse en algún momento, cumpliendo una determinada condición. Cuando el valor absoluto del cociente entre ladiferencia de dos términos consecutivos de la sucesión y uno de los términos, sea menor que cierta cantidad e.

Este criterio, no es completamente riguroso, pero es un buenpunto de partida para el estudio de este método. Volvemos a escribir el código incluyendo la condición de terminación y dentro de una función denominada raiz, a la que se le pasa elvalor inicial y que devuelve la raíz buscada

final double ERROR=0.001;
double raiz(double x0){
double x1;
while(true){ x1=Math.cos(x0); if(Math.abs((x1-x0)/x1)