Lamentalidad

La conducción del calor. Ley de Fourier

• La transmisión del calor a lo largo de una barra metálica.

• La difusión unidimensional de un soluto en un disolvente.

Las leyes físicas que describen su comportamiento son simples y fácilmente comprensibles, pero la descripción analítica es compleja. Trataremos además, de resaltar las diferencias entre los mecanismos básicos que explicanambos fenómenos, y cómo afectan las condiciones de contorno a su evolución temporal. Así, en el problema de la conducción del calor a lo largo de una barra metálica se establecerán temperaturas fijas en los extremos de la barra, mientras que en el problema de la difusión se establecerá una masa de soluto en el origen de un medio unidimensional infinito en extensión.

Los fenómenos de transporteson aquellos procesos en los que hay una transferencia neta o transporte de materia, energía o momento lineal en cantidades grandes o macroscópicas. Estos fenómenos físicos tienen rasgos comunes que pueden ser descritos mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional

∂Ψ ∂t =α ∂ 2 Ψ ∂ x 2

Donde a es una constante característica de cada situación física y Ψ es el campocorrespondiente al fenómeno de transporte de que se trata.

Históricamente, la ecuación que describe la difusión se denomina ley de Fick. El campo Ψ describe la concentración de soluto en el disolvente y la constante α=D, siendo D el coeficiente de difusión. La difusión se establece siempre que exista un gradiente o diferencia de concentración entre dos puntos del medio.

La ecuación quedescribe la conducción térmica se conoce como ley de Fourier, en este caso el campo Ψ es la temperatura T, y el coeficiente α=K/(ρc), donde K, es la conductividad térmica, ρ la densidad, y c es el calor específico del material. La conducción del calor se establece siempre que exista un gradiente o diferencia de temperaturas entre dos puntos de una barra metálica.

Se estudia cada uno de los fenómenosen dos partes:

• Se calcula la solución de la ecuación diferencial que gobierna el proceso.

• Se simulan los fenómenos a partir de mecanismos básicos simples. La simulación nos permitirá explicar las facetas esenciales de la descripción matemática del fenómeno en cuestión.

Ley de Fourier

Sea J la densidad de corriente de energía (energía por unidad de área y por unidad detiempo), que se establece en la barra debido a la diferencia de temperaturas entre dos puntos de la misma. La ley de Fourier afirma que hay una proporcionalidad entre el flujo de energía J y el gradiente de temperatura.

J=K ∂T ∂x

Siendo K una constante característica del material denominada conductividad térmica.

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Consideremos un elemento de la barra de longitud dx y sección S. Laenergía que entra en el elemento de volumen en la unidad de tiempo es JS, y la que sale es J’S. La energía del elemento cambia, en la unidad de tiempo, en una cantidad igual a la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente.

JS−J'S=− ∂J ∂x S dx

Esta energía, se emplea en cambiar la temperatura del elemento. La cantidad de energía absorbida o cedida (en la unidad de tiempo) por elelemento es igual al producto de la masa de dicho elemento por el calor específico y por la variación de temperatura.

( ρ Sdx )c ∂T ∂t

Igualando ambas expresiones, y teniendo en cuenta la ley de Fourier, se obtiene la ecuación diferencial que describe la conducción térmica

∂T ∂t =α ∂ 2 T ∂ x 2   α= K ρ c

Solución analítica

Supongamos una barra metálica de longitud L,conectada por sus extremos a dos focos de calor a temperaturas Ta y Tbrespectivamente. Sea T0 la temperatura inicial de la barra cuando se conectan los focos a los extremos de la barra.

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Al cabo de cierto tiempo, teóricamente infinito, que en la práctica depende del tipo de material que empleamos, se establece un estado estacionario en el que la temperatura de cada punto de la barra no...