lamora

PROBLEMAS DE APLICACIONES
DE LA MATEMATICA

FRANCISCO RIVERO MENDOZA PHD.

Departamento de Matem´ticas
a
Facultad de Ciencias
Universidad de los Andes
M´rida - Venezuela
e

Contenido

1

N´ meros Complejos
u
1.1 Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Producto de n´meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u
1.3 Forma Polarde los n´meros complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . .
u

2 Factorizaci´n de Polinomios
o
2.1 Introducci´n. . . . . . . . .
o
2.2 Definiciones B´sicas. . . . .
a
2.3 Raices de Polinomios . . . .
2.4 El M´todo de Ruffini . . . .
e

1
2
5
10

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21
21
22
27
34

3 Problemas de Aplicaciones
3.1 Como resolver un Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Problemas de Econom´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa

53
53
54

4 Matrices
4.1 Operaciones con matrices . . .
4.2 Inversa de una matriz. . . . . .
4.3 M´todo de Gauss para calcular
e
4.4 Sistemas de Ecuaciones . . . .

73
74
83
86
92

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la inversa de una
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i

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matriz
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Cap´
ıtulo

1
Problemas de Ciencia
En este cap´
ıtulo veremos como resolver problemas de otras areas distintas a la
econom´ como la Geometr´ la F´
ıa,
ıa,
ısica, la Qu´
ımica, la Astronom´
ıa,...etc. Dentro
de cada problema damos las herramientas te´ricos necesarias para la resoluci´n de
o
o
los mismos.

1.1

Problemas generales

Para resolver estos problemasse requieren algunos conocimientos m´
ınimos de geometr´ y ´lgebra.
ıa a
1.Area de un rect´ngulo. Un rect´ngulo tiene una altura de 3 veces la longitud
a
a
de la base. Si se incrementan la base en 3 cm. y la altura en 5 cm. entonces el ´rea
a
es de 319 cm. ¿ cuales son las dimensiones del rect´ngulo ?
a
Soluci´n. Sea X la longitud de la base. Luego la altura ser´ 3X. Al incrementar
o
alos lados se tiene un ´rea de
a
(X + 3)(3X + 5) = 319
Efectuando operaciones nos queda
3X 2 + 5X + 9X + 15 = 319
3X 2 + 14X − 304 = 0
Resolviendo en X obtenemos
X=

−14 ±

142 + 4(304)(3)
−14 ± 62
=
6
6
1

2

Cap´
ıtulo 1.

Problemas de Ciencia

Desechamos la soluci´n negativa, por tratarse de una medida de longitud, y por lo
o
tanto la soluci´n es X = 8.
o
Luego elrect´ngulo tiene longitud de la base igual a 8 y altura 24.
a
2. Cercado de una cancha de futbol.Una cancha de futbl de 25 metros de ancho
por 76 de largo se va a cercar dejando un espacio o corredor entre la cerca y el borde
del ´rea de juego. El costo de la cerca es de Bs. 4.000 por metro lineal. Si se dispone
a
de Bs. 968.000 para cercar la cancha, entonces calcular el ancho del corredor.Soluci´n Sea X el ancho del corredor. Entonces el per´
o
iımetro del rect´ngulo a
a
cercar es
P = 2(76 + 2X) + 2(25 + 2X)
El costo total de la cerca es igual a este per´
ımetro por el costo de cada metro de
cerca. Luego se tiene la relaci´n de costo
o
400 · ((76 + 2X) + 2(25 + 2X)) = 968.000
(76 + 2X) + (25 + 2X) = 121
de donde
4X = 20
luego X = 5. Por lo tanto el ancho delcorredor debe ser de 5 metros.
3. Calculo de Edades. Parmeno es 5 a˜os mayor que Sempronio. Hace diez
n
a˜os, la suma de las dos eades esra igual a 35. ¿ Cual es la edad actual de cada uno
n
de ellos?
Soluci´n. Sea X la edad actual de Sempronio. Entonces X + 5 es la edad actual
o
de Parmeno. La suma de las dos edades hace 10 a˜os fue
n
(X − 10) + (X − 5) = 35
de donde
2X = 50

1.1....