Lapalce aplicaciones

Aplicación de la Transformada de Laplace a las Ecuaciones Diferenciales

Una transformada de Laplace se desprende de una función dependiente de t F {t} donde t>0 y funciona por medio de unaintegral evaluada de 0 a por medio de un operador llamado L operador de la transformada de Laplace y se define como:
[pic]
Partiendo de esto la solución de una ecuación diferencial puede ser halladapor medio de la trasformada de Laplace como a continuación se mostrara;

La Transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales. Si se quiere resolver unaecuación diferencial de segundo orden:

[pic] O sea
[pic] ……………… (1)

Donde [pic] y [pic] son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera[pic] [pic] …………………… (2).

Tomando la Transformada de Laplace a cada lado de (1) y usando (2), se obtiene una ecuación algebraica para determinar L {y (t)} = Y(s). Lasolución requerida se obtiene al calcular la antitransformada de Laplace de Y(s).

← Ejercicio resuelto: Resolver y'' + y = t, con y (0) = 1, y'(0) = -2.
Tomando la Transformada de Laplace en amboslados de la ecuación diferencial, y utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene:
L {y’’} + L {y} = L {t}

s2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = 1/s2

s2 Y(s) - s + 2 + Y(s) = 1/s2Entices: Y(s) * [s2 + 1] = 1/s2 + (s - 2)

Desperado Y(s):
Y(s) = [1/s2 + (s - 2)] / [s2 + 1]
Y(s) = 1/s2 - 1/s2 + 1 + s/s2 + 1 - 2/ s2 + 1
Y(s) = 1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1Aplicando Antitransformada a cada término:
L -1 {Y(s)} = L -1 {1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1}

Se obtiene de los resultados que mostré en la siguiente tabla:

y(t) = t + cos t - 3 sen t

laTransformada de Laplace tiene algunas propiedades:

1. Suma y Resta
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:
[pic]

2. Multiplicación por...