laparabola1

La parábola
(Versión preliminar)

M. en C. René Benítez López
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma MetropolitanaIztapalapa

La calzada de un puente parabólico está sobre el lado recto de una parábola,
cuyo vértice está a 20 m de altura por arriba de la calzada. Tomando como
eje x a la horizontal que define la calzada, y como eje y al eje de simetría de
la parábola, y si los extremosdel lado recto están cada uno a 60 m del foco,
se puede determinar la ecuación de la parábola y las coordenadas de los
puntos de anclaje del puente en las orillas de la Bahía .

y

0

x

Una parábola se define como el lugar geométrico de todos los puntos
equidistantes de una recta y un punto fijos. El punto fijo se llama foco y
la recta fija se llama directriz de la parábola.
Conocidos el foco yla directriz, la parábola se construye como sigue:
1. Trazar FD  
n

m

2. Bisecar FD
3. Unir F con
cualquier X en 

B
Foco

4. Trazar la mediatriz
m de FX

P
F

p

q

5. Trazar n   por
X. Se obtiene P en
mn

V
X

D


Y
directriz

6. Para obtener más
puntos, se repite lo
hecho en 3, 4 y 5
con cualquier otro

¿Qué sucede con la parábola si la distancia del foco a la directriz crece?
Laparábola se abre
¿Qué sucede con la parábola, si la distancia del foco a la directriz decrece?
La parábola se cierra

¿Es la mediatriz m de FX tangente a la parábola?
Sí

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos
determinados al unir el foco con los puntos de la directriz?
Es la paralela a la directriz por el vértice de la parábola

La distancia del vértice V al foco F sedenota con p, esto es d  V , F   p,
y es igual que la distancia del vértice V a la directriz , o sea:
d  V ,F   d  V ,

P

F
A



B
p

V

 p

AB es lado recto
de la parábola.

p

D

La cuerda perpendicular al eje de simetría de una parábola por el foco,
se llama lado recto de la parábola.

Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice coincide con el
origen, lascoordenadas del foco son F  0, p  , la ecuación de la directriz
es y   p. Por lo que, si P  x, y  es cualquier punto de la parábola
entonces se satisfacen las siguientes relaciones:
d  P, 

y
P  x, y 

 x  0   y  p 
2

F(0,p)
p
O

2

yp
02  12

x2   y  p  y  p
2

x

Q

  d  P, F 

x2   y  p   y  p
2

p
y = p



x 2  4 py
La parábola abre hacia arriba si p  0
Laparábola abre hacia abajo si

p0

2

Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice es V  h, k  , las
coordenadas del foco son F  h, k  p  , y la ecuación de la directriz es
y  k  p. Por lo que, si P  x, y  es cualquier punto de la parábola,
entonces se satisfacen las siguientes relaciones:
d  P, F   d  P, 
F  h, k  p 

y

P  x, y 

 x  h   y  k  p 
2

 x h
k
y=k-p

 x  h

p
p
0

Q

x

2

2

2



y k  p
02  12

  y  k  p  y  k  p
2

  y  k  p   y  k  p
2

 x  h

2

 4p  y  k 

h
La parábola abre hacia arriba si p  0
La parábola abre hacia abajo si p  0

2

Longitud del lado recto de una parábola
La longitud PQ del lado recto de la párábola adjunta, se calcula como
sigue:

PQ  PF  FQ  2PF
F
P



Q

p

Pero:PF  PS  2 p

V p
S

D

R

Entonces:

PQ  4 p

2
Graficar la parábola 2 x  4 x  5 y  12  0 y obtener la
forma canónica de su ecuación. Además obtener la longitud
del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la
parábola.

Ejemplo 1

Solución

 x  1

2



5
 y  2
2

15

12.5

V  1,2 


F


10

2
1, 
8

7.5

5

La longitud del lado recto es:

5
2

2.5

-6

-4-2

2

4

Ejemplo 2

Solución

La calzada de un puente parabólico está sobre el lado recto de
una parábola, cuyo vértice está a 20 m de altura por arriba de
la calzada. Tomando como eje x a la horizontal que define a la
calzada, y como eje y al eje de simetría de la parábola, y si los
extremos del lado recto están cada uno a 60 m del foco,
determinar la gráfica y la ecuación de la parábola, y...