Laplac

eTransformada de Laplace
Ejemplos

Definición de la Transformada de Laplace
• Definición básica Si f(t) está definida para t  0, entonces

0



K ( s, t ) f (t )dt  lim  K ( s, t ) f (t )dt
b 0

b

Transformada de Laplace Si f(t) está definida para t  0, entonces
L { f (t )}   e
0   st

f (t )dt

es la Transformada de Laplace de f.

Transformadas inversas yTransformadas de derivadas
Algunas transformadas inversas
(a)
n 1

1 L   s 
(c)

11 

(b)

n! t  L  n1  , n  1, 2, 3,   s 

1  e L   s  a 
at

1

(d)

k  sin kt  L  2 2 s  k  k  sinh kt  L  2 2 s  k 
1

1

(e)

s  cos kt  L  2 2 s  k 
s  cosh kt  L  2 2 s  k 
1

1

(f)

(g)

Ejemplo 1
Hallar lastransformadas inversas de
1 (a) L  5  s 
1

1  (b) L  2  s  7

1

Solución (a)
1  1 1 4!  1 4 L  5  L  5  t  s  4!  s  24
1  1 1 7  1 L  2 L  2 sin 7t   7 7 s  7 s  7
1

1

(b)

Ejemplo 2
Hallar L 1  2s  6   2 
 s 4 

Solución
 6 6  1  2 s L  2 L  2   s 4  s  4 s  4 s  6 1 2  1  2L  2  L 2  s  4 2 s  4
 2 cos 2t  3sin 2t
1  2 s  2

Ejemplo 3
Hallar

  s 2  6s  9 1 L   ( s  1)( s  2)( s  4) 

Solución Usando fracciones parciales
s 2  6s  9 ( s  1)(s  2)(s  4)

A B C    s 1 s  2 s  4

Luego
s 2  6s  9  A(s  2)(s  4)  B(s  1)(s  4)  C (s  1)(s  2)

Si hacemos s = 1, 2, −4, entonces

Ejemplo 3 (2)
A  16/5, B 25/6, C  1/30

Así
  s 2  6s  9 1 L   ( s  1)( s  2)( s  4) 

16 1 1  25 1 1  1 1 1   L   L   L   5  s  1 6  s  2  30 s  4

16 t 25 2t 1 4t  e  e  e 5 6 30

Transformada de una derivada

f , f ' ,  , f ( n1) son continuas en [0, ) y son de Si orden exponencial y si f(n)(t) es continua por partes en [0, ), entonces

{ f ( n ) (t )}  s nF ( s)  s n1 f (0)  s n2 f (0) 
donde F ( s)  L { f (t )}.

 f ( n1) (0)

Ejemplo 4
Resolver
dy  3 y  13sin 2t , y (0)  6 dt
 dy   3L { y}  13L {sin 2t} L   dt  26 sY ( s)  6  3Y ( s)  2 s 4
26 ( s  3)Y ( s)  6  2 s 4
6 26 6s 2  50 Y ( s)    2 s  3 ( s  3)( s  4) ( s  3)( s 2  4)

Solución

Ejemplo 4 (2)
6s 2  50 A Bs  C   2 2 ( s  3)( s 4) s  3 s  4

6s  50  A( s  4)  ( Bs  C )  s  3
2 2

si s  3: 104  A(13)  A  8

6s 2  50  8( s 2  4)  ( Bs  C )  s  3 si s  0 : 50  32  C  3  C  6

6s  50  8( s  4)  ( Bs  6)  s  3
2 2

si s  1: 56  40  ( B  6)  4   B  2

Ejemplo 4 (3)
Podemos hallar A = 8, B = −2, C = 6 Así
6s 2  50 8 2s  6 Y ( s)    2 2 ( s  3)( s  4) s  3s  4

1  s  1 1 2  y (t )  8L    2L  2   3L  2   s  3 s  4 s  4

1

y(t )  8e3t  2 cos 2t  3sin 2t

Ejemplo 5
y"3 y '2 y  e4t , y(0)  1, y' (0)  5 Resolver

Solución

d 2 y   dy   2L { y}  L {e4t } L  2   3L    dt   dt 

s Y ( s)  sy (0)  y(0)  3[ sY ( s)  y (0)]  2Y ( s) 
2

1 s4

1 ( s  3s  2)Y ( s)  s  2 s4 s 2  6s  9 s 2  6s  9 Y ( s)  2  ( s  1)  s  2  s  4  ( s  3s  2)  s  4 
2

Ejemplo 5 (2)
s 2  6s  9 A B C Y ( s)     ( s  1)( s  2)( s  4) ( s  1) ( s  2) ( s  4) s 2  6s  9  A( s  2)( s  4)  B( s  1)( s  4)  C ( s  1)( s  2) 16 25 1 Para s  1; 2 y  4 se obtiene A  ; B y C 5 6 30

-16 1 25 1 1 1 Y ( s)    5 ( s  1) 6 ( s  2) 30 ( s  4)16 t 25 2t 1 4t y (t )  L {Y ( s)}   e  e  e 5 6 30
1

Primer teorema de traslación

Si L{f (t)} = F(s) y a cualquier número real, entonces L{eatf(t)} = F(s – a)

Demostración L{eatf(t)} =  e-steatf(t)dt =  e-(s-a)tf(t)dt = F(s – a)
L {eat f (t )}  L{ f (t )}ssa

Ejemplo 6
Hallar las T.L. de
(a) L {e5t t 3} Solución
5t 3

(b) L {e2t cos 4t}
3! 6  4  s ss...