Laplace

Tema 8 Transformada de Laplace
8.1 Introducci´n. Transformadas Integrales o

Puede decirse que los m´todos cl´sicos para la resoluci´n de problemas de valores en la e a o frontera en la F´ ısica Matem´tica se derivan del trabajo precursor de Fourier. Una nueva a t´cnica, la de las transformadas integrales, cuyo origen se encuentra en los trabajos de e Heaviside (electrot´cnico ingl´s de finesdel siglo pasado), ha sido desarrollada durante e e los ultimos a˜os, y tiene ciertas ventajas sobre el m´todo cl´sico. ´ n e a Heaviside (aproximadamente 1.890) se interes´ originalmente en la resoluci´n de E.D.O. o o con coeficientes constantes que aparecen en la teor´ de circuitos el´ctricos. M´s tarde, ´l ıa e a e mismo extendi´ su m´todo a las E.D.P. que aparecen en electromagnetismo yconducci´n o e o de calor. Fue tal el poder de su m´todo, que resolvi´ muchos problemas hasta entonces e o irresolubles y obtuvo soluciones a problemas ya resueltos en una forma m´s adaptable al a C´lculo Num´rico. Posteriores investigaciones efectuadas por Bronwich, Carson y Van a e der Pool, fundamentaron el c´lculo de Heaviside sobre una base m´s s´lida. a a o En un trabajo reciente, efectuado porDoetsch y otros, sobre la transformaci´n de o Laplace, se unifica la teor´ desarrollada por Heaviside, Bronwich y Carson. Generalıa mente, el empleo de una transformada integral reducir´ una E.D.P. en n variables a independientes a una con n − 1 variables, reduciendo por lo tanto, la dificultad del problema en estudio. En algunos casos, operaciones sucesivas de este tipo pueden reducir el problema a laresoluci´n de una E.D.O. cuya teor´ ha sido ampliamente desarrollada. De o ıa hecho, operaciones sucesivas pod´ reducir el problema a la resoluci´n de una ecuaci´n ıan o o algebraica, pero s´lo algunas veces merece la pena hacerlo. o A´n cuando la transformada de Laplace es de empleo m´s com´n y es particular u a u (conveniente para problemas regidos por E.D.O. y para problemas sobre la conducci´nde o calor), otras transformaciones integrales pueden ser de gran utilidad en la resoluci´n de o problemas de valores en la frontera en la F´ ısica Matem´tica. En la resoluci´n de este tipo a o de problemas se han empleado con ´xito diferentes transformaciones integrales y no existe e raz´n alguna para que el m´todo no pueda extenderse mediante el uso de otros n´cleos. o e u 1

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TEMA 8.TRANSFORMADA DE LAPLACE

En este tema no se har´ un estudio te´rico riguroso de la transformada de Laplace, a o sino su utilizaci´n pr´ctica en la resoluci´n de E.D.O. con condiciones iniciales dadas. o a o

8.1.1

Transformadas Integrales

Definici´n 8.1 Gran n´mero de importantes funciones del An´lisis Matem´tico pueden o u a a expresarse como integrales de la forma g(y) =
∞ −∞

K(x, y) ·f (x) · dx

Una funci´n g definida por una ecuaci´n de este tipo (en la que la variable y puede o o ser real o compleja) se llama Transformada Integral de f . La funci´n K se denomina N´ cleo de la Transformada. o u Como se ha indicado anteriormente, las transformadas integrales se utilizan ampliamente en las matem´ticas puras y aplicadas y son especialmente utiles en la resoluci´n a ´ o deciertos problemas de contorno y de ciertos tipos de ecuaciones integrables. Algunas de las transformadas m´s convenientemente usadas son: a ∞ −ixy • Transformada exponencial de Fourier: f (x)dx −∞ e ∞ • Transformada coseno de Fourier: 0 cos(xy)f (x)dx ∞ • Transformada seno de Fourier: 0 sen(xy)f (x)dx ∞ −xy • Transformada de Laplace: f (x)dx 0 e ∞ y−1 • Transformada de Mellin: f (x)dx 0 x Como e−ixy =cos(xy) − i sen(xy) , las transformadas seno y coseno son meros casos particulares de la transformada exponecial de Fourier en las que la funci´n f se anula o en el eje real negativo. Asimismo, la transformada de Laplace est´ relacionada con la transformada de Fourier: a si consideramos un valor complejo de y, y = u + iv, u, v ∈ IR podemos escribir
∞ 0

e−xy f (x)dx =

∞ 0

e−ixv · e−xu...