Laplace
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA APLICADA 1
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Durante esta primera parte del curso, revisaremos Los conceptos elementales de la TRANSFORMADA DE LAPLACE: La Transformada de Laplace como su nombre lo indica, simplemente es una herramienta para efectuar una transformación de una función, ya en cursos como MB1se estudiaron algunas transformaciones de funciones como alargamiento, encogimiento, corrimiento vertical u horizontal, esta nueva herramienta realizará una transformación de una función pero en otra nueva función con una variable distinta, cambiando la función con variable independiente “t” de una función nueva cuya variable será “s”. Esta transformación servirá para resolver ecuacionesdiferenciales pero simplemente con el algebra, ya que una ecuación diferencial a través de la transformada de Laplace la convierte en una ecuación algebraica.
L
Hay que tener en cuenta que se está realizando una transformación de función y las dos funciones (la original y la transformada) las estamos identificando con la letra “f”, entonces utilizaremos la letra minúscula para la función original cuyavariable es “t” y y la letra mayúscula para la función transformada cuya variable es “s” . A continuación mostraremos un ejemplo: EJEMPLO 1: Calcular la transformada de Laplace de la función note que es una función constante. Entonces en debemos de saber que
L
entonces tendríamos lo siguiente:
L
,
dicha integral impropia la
resolvemos con el siguiente procedimiento (de intermedia1)
DEFINICIÓN
Para nuestra conveniencia, usaremos únicamente la integral impropia que calcula la transformada de Laplace de una función el limite por ser integral impropia.
,
siendo esta
si dicha integral es
convergente, lo hará en obteniendo así la transformada de Laplace de la función, se puede representar asi:
MA. Ing. Juan Orlando López
MSC. Ing. Renaldo Girón AlvaradoMA. Ing. Carlos Alberto Garrido López
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Note que si ; y eso puede ser si contrario la integral sería divergente. En conclusión diríamos que L
de lo
1 2
f(t) K t t
n at
L {f(t)} = F(s) k/s 1/s n!/s
2
.
VISITE LOS SIGUIENTES
3 4 5 6
n+1
NOTA:
LINKS:
PARA VEROTROS EJERCICIOS
e
1/ s-a a/ s + a s/ s + a a/ s - a s/ s - a
2 2 2 2 2
sen at cos at senh at cosh at
2
http://www.youtube.com/watch?v=haBLD96vlE8&NR=1 http://www.youtube.com/watch?v=lwyRp2k3JqU&NR=1 http://www.youtube.com/watch?v=lOq5dRDFWNI&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=vztTJHTTKwY&feature=related
7 8
2
2
Ejemplos:
Determinar la transformada de lassiguiente función:
TRANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS
Afortunadamente cuando se desee calcular la transformada de una función no siempre será integrar, ya existen tablas de funciones frecuentemente usadas que podemos utilizar, en la siguiente tabla mostramos las transformadas de las funciones básicas más frecuentadas. CON LA SIGUIENTE TABLA Y UN MUY BUEN MANEJO DEL ALGEBRA PODEMOSENCONTRAR LA TRANSFORMADA DE MUCHAS FUNCIONES. (SE MUESTRAN EJEMPLOS A CONTINUACIÓN) MA. Ing. Juan Orlando López
L L 4*L
4* +16*L + 16* +
Aplicando
productos
notables
Aplicando propiedad de linealidad
+L
por medio de la tabla
obteniendo el siguiente resultado
IMPORTANTE LA MANIPULACIÓN DEL ALGEBRA PARA ESTE TEMA
MSC. Ing. Renaldo Girón Alvarado
MA. Ing. Carlos AlbertoGarrido López
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
El procedimiento con el que se encontrará una transformada inversa será por simple inspección, eso quiere decir que si sabemos que
Ejemplo: Calcular L
-1
La parte importante desde donde podremos
L
entonces podremos concluir...
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