Laplace

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE CIENCIAS

TEMA: Solución Numérica de la Ecuación de La ecuación de Laplace

Nombre: Nilo Barrantes melgar Código: 20020239C

Solución Numérica de la Ecuación de Laplace
Resumen
Resolveremos la ecuación de Laplace, para el caso particular de una región cuadrada, reduciéndola por diferencias finitas a una forma algebraica, para de esta forma,con el algoritmo adecuado y haciendo uso de la computadora, podamos resolver el problema de forma aproximada. Modificando el programa que resuelve dicha ecuación será posible resolver la ecuación de Poisson o calcular la capacitancia de un sistema de conductores cuadrados.

Introducción
En ciencias e ingeniería cuando queremos describir cuantitativamente un fenómeno físico lo primero quehacemos es plantear un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen el fenómeno y las condiciones de contorno e iniciales. El segundo paso es resolver ese sistema para un cierto conjunto de datos. Es aquí donde aparecen los problemas, ya que solo es posible resolverlas exactamente (analíticamente) si las ecuaciones son muy simples y están definidas en un dominio de geometría simple. Por talmotivo lo que se hace es replantear el problema de una forma totalmente algebraica, esto se hace posible discretizando el problema continuo definido por las ecuaciones diferenciales. La forma más simple de discretizacion, es el proceso de diferencias finitas, que nos lleva a una aproximación del problema real. En la actualidad la cantidad de métodos usados, para resolver ecuaciones diferenciales ahaumentado considerablemente debido al auge de las computadoras, desde el método de diferencias finitas, Euler, Runge Kutta, Relajación sucesiva hasta lo mas ultimo que son la aplicación de las redes neuronales y uso de algoritmos genéticos.

Fundamento teórico y Cálculos

Diferenciación numérica
La diferenciación numérica, o aproximación por diferencias, se usa para evaluar las derivadas de unafunción por medio de sus valores dados en los puntos de una retícula. Las diferencias finitas son muy importantes para la resolución de ecuaciones diferenciales. Para una derivada de orden p, el mínimo numero de datos necesario para obtener una aproximación por diferencias es p+1.Por ejemplo, una aproximación por diferencias para la primera derivada de una función necesita al menos dos puntos.Si tenemos una función analítica y m+1 datos discretos

( xk , yk )

con

xi

xi

1

xi podremos

hallar una derivada de orden m. El caso mas simple es aquel en que nombre de paso Usando la siguiente notación.

xi

h , donde h recibe el

fi

f ( xi )
n

fi

f ( xi n )

f ( xi

n. x)

x

h : Paso

Los valores de f en todos los puntos distintos de El desarrollode Taylor de

xi se desarrollan en una serie de Taylor.
es:

fi
fi

1

alrededor de

xi

fi

1

hfi
1

h2 fi 2

h3 (3) fi 6

h4 (4) fi ... 24

(1)

El desarrollo de Taylor de

fi

alrededor de

xi

es:

fi

1

fi hfi

h2 fi 2

h3 (3) fi 6

h4 (4) fi ... 24

(2)

De (1)+ (2), tenemos:

fi
Despejando f :

1

fi

1

2 fi

h2 fi

h4(4) fi ... 12

fi (2)

fi

1

2 fi h2

fi

1

O( h 2 )

(3) y el error para h muy

La ecuación (3), se llama aproximación por diferencias centrales de f pequeño se representa como:
2

O( h )

h2 (4) fi 12

(4)

Ecuación de Laplace
Es un caso particular de la ecuación de Poisson, en que la carga eléctrica que produce el campo eléctrico (y por lo tanto potencial) estadistribuida en la superficie frontera o fuera de la región, por lo que la ecuación de Poisson quedaría como:
2

V

0

(5)

Que expresada en coordenadas cartesianas es:
2 2

V ( x, y , z )

V x2

2

V y2

2

V z2

0
(6)

Aproximaciones por diferencias finitas para las geometrías rectangulares
Consideremos, el problema bidimensional con dominio definido en la figura...