laplace

Universidad de la Frontera
Facultad de Ingenier´ Ciencias y Administraci´n
ıa,
o
Departamento de Matem´tica y Estad´
a
ıstica

Gu´ de Ejercicios
ıa
Profesores : A. Muci, E. Uribe
1.Calcule la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:
a) f (t) = e2t (3 sen 4t − 4 cos 4t)

h) f (t) =

sen t 0 < t < π
0
t>π

c) f (t) = t cos at

i) f (t) =

0 05

k) f (t) =cos t 0 < t < π
sen t t > π

l) f (t) =

5 sen 3(t − π/4) t > π/4
0
t < π/4

b) f (t) = t(e3t + e−3t )

t

e) f (t) =
0

1 − e−u
du
u

f ) f (t) = t3 cos t
g ) f (t) = e

−2tcos t

2. Calcule la Transformada Inversa de las siguientes funciones:
s
(s + 2)(s − 1)
1
F (s) =
(s + 2)2
s+2
F (s) = 2
s + 2s + 2
e−2s
F (s) =
s−4
F (s) = (s3 + 1)−1
1
F (s) = 2
(s+ a2 )2

s+3
+ 2s + 5

a) F (s) =

g ) F (s) =

b)

h) F (s) =

2s − 5
s(s2 + s − 12)

i) F (s) =

2
s2 (s+2)(s−1)

c)
d)
e)
f)

s2

j) F (s) = ln 1 +

1
s

k) F (s) =ln 1 +

+

4
s2

3. Considere la ecuaci´n: y − 2y + 2y = f (t), y(0) = y (0) = 0, donde
o



t
t2
a) Exprese la funci´n f (t) en t´rminos de la funci´n escal´n unitario.
o
e
o
ob) Use a) y Transformada de Laplace para resolver la ecuaci´n.
o

1
(s+2)(s−1)

c) Exprese la soluci´n y(t) como una funci´n definida por casos.
o
o
4. Use Transformada de Laplace pararesolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) y − 3y + 2y = 4e2t , y(0) = −3, y (0) = 5

 t



1
b) y − y =
 3−t


 0
c) y (iv) + y =

0≤t≤1
11

d) y + 4y + 4y =

0
t≤3, y(0) = 1 , y (0) = −1
3−t
e
t>3

e) ty + 2(t − 1)y − 2y = 0 , y(0) = y (0) = 0
f ) ty − (t + 2)y + 3y = t − 1, y(0) = 0, y (0) = 1
g ) y + y = 3 sin 2t − U2π (t) sen 2t , y(0) = 1, y (0) =−2
h) ty + 2(t − 1)y + (t − 2)y = 0 , y(0) = 1, y (0) = −1
i) y − 4y + 4y =

t
0≤t 2π

5. Eval´e las siguientes integrales:
u
∞

a)
0

e−at sen bt
dt
t

∞

∞

(t − u)3 sen u du...