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Publicado: 9 de mayo de 2014
TEOREMA DE DESARROLLO DE HEAVISIDE EN FRACCIONES PARCIALES
La técnica del desarrollo de fracciones parciales es establecida para cuidar todos los casos
sistemáticamente.
Hay 4 clases de problemas, dependiendo del denominador D(s):
Caso 1: C(s) tiene polos reales de 1er orden.
Caso 2: C(s) tiene polos reales repetidos de primer orden.
Caso 3: C(s) tiene un par de polos complejos conjugados(un factor cuadrático en el denominador).
Caso 4: C(s) tiene pares repetidos de polos complejos conjugados (un factor cuadrático repetido
en el denominador).
CASO 1: POLOS REALES DE 1ER ORDEN.
La posición de estos polos reales deC(s) en el plano s se muestra en la figura 1. Los polos
pueden ser positivos ceros o negativos y ellos están situados en el eje real en el plano s. En este
ejemplos₁ es positivo, s₀ es cero, s₂ es negativo. Para los polos mostrados en la figura 1, la
transformada F(s) y sus fracciones parciales son:
Jw
X
-s₂
x
s₀
plano s
x
s₁
Figura 1. Localización de los polos reales en el plano s
Hay tantas fracciones como hay factores en el denominador de C(s). ya que s₀=0, el factor
s-s₀ es escrito simplemente como s. la transformadainversa para C(s) es:
El polo s₁ es positivo, por lo tanto el término
es un incremento exponencial y el
sistema es inestable. El polo s₂ es negativo, y el término
es una caída exponencial con
valor final de cero. Por lo tanto, para que un sistema sea estable, todos los polos reales que
contribuyen a complementar la solución deben estar en la mitad izquierda del plano s.(ver figura
1A)Figura 1A. Comportamiento de los polos: positivo y negativo.
Para evaluar un típico coeficiente
factor
. El resultado es:
, multiplicando ambos lados de la ecuación por el
La multiplicación del factor
sobre el lado izquierdo del a ecuación. Y el mismo factor
D(s) deberá dividirse fuera. Si
, todos los términos en el lado derecho de la ecuación son
cero excepto . Así, una reglageneral para evaluar las constantes para polos reales de orden
simple es:
Donde D’(s) es
=
. Los coeficientes
polos correspondientes. Para el caso de:
Las constantes son:
son llamados los residuos de C(s) de los
La solución de c(t) es:
CASO 2: POLOS REALES DE ORDEN MÚLTIPLE.
La posición de los polos reales de F(s), algunos de los cuales son repetidos, se muestra en
la figura2. El símbolo es proyectado para indicar un polo de orden r.
Jw
s₁
X
x
s₁
plano s
0
Figura 2. Localización de polos reales en el plano s.
Todos los polos reales están situados sobre el eje real del plano s. para los polos
mostrados en la figura 2, la transformada de C(s) y sus fracciones parciales son:
El orden de D(s) en este caso es cuatro, y hay cuatro fracciones.Note que el polo múltiplo
s, el cual es de orden 3, tiene resultados en tres fracciones en el lado derecho de la ecuación C(s).
Para designar las constantes en las fracciones parciales, un solo subíndice es usado para un polo
de primer orden. Para polos de orden múltiplo, una notación de doble subíndice es usada. El
primer subíndice designa el polo, y el segundo subíndice designa el orden delpolo en la fracción
parcial. Los constantes asociados con los denominadores de primer orden en el desarrollo de las
fracciones parciales son denominados residuos; por lo tanto únicamente las constantes
son residuos de la ecuación C(s).
La transformada inversa de C(s) es:
Como calcular las constantes del orden múltiplo:
Para la transformada general con raíces reales repetidas:
Laconstante
puede evaluarse simplemente, multiplicando ambos lados de la ecuación C(s)
por (
obtendremos:
Nótese que el factor
Para
es dividido fuera de la parte izquierda de la ecuación
todos los términos en el lado derecho de la ecuación son ceros excepto para
:
La evaluación de
no puede realizarse en una manera similar. Multiplicando ambos
lados de la ecuación C(s) por...
La técnica del desarrollo de fracciones parciales es establecida para cuidar todos los casos
sistemáticamente.
Hay 4 clases de problemas, dependiendo del denominador D(s):
Caso 1: C(s) tiene polos reales de 1er orden.
Caso 2: C(s) tiene polos reales repetidos de primer orden.
Caso 3: C(s) tiene un par de polos complejos conjugados(un factor cuadrático en el denominador).
Caso 4: C(s) tiene pares repetidos de polos complejos conjugados (un factor cuadrático repetido
en el denominador).
CASO 1: POLOS REALES DE 1ER ORDEN.
La posición de estos polos reales deC(s) en el plano s se muestra en la figura 1. Los polos
pueden ser positivos ceros o negativos y ellos están situados en el eje real en el plano s. En este
ejemplos₁ es positivo, s₀ es cero, s₂ es negativo. Para los polos mostrados en la figura 1, la
transformada F(s) y sus fracciones parciales son:
Jw
X
-s₂
x
s₀
plano s
x
s₁
Figura 1. Localización de los polos reales en el plano s
Hay tantas fracciones como hay factores en el denominador de C(s). ya que s₀=0, el factor
s-s₀ es escrito simplemente como s. la transformadainversa para C(s) es:
El polo s₁ es positivo, por lo tanto el término
es un incremento exponencial y el
sistema es inestable. El polo s₂ es negativo, y el término
es una caída exponencial con
valor final de cero. Por lo tanto, para que un sistema sea estable, todos los polos reales que
contribuyen a complementar la solución deben estar en la mitad izquierda del plano s.(ver figura
1A)Figura 1A. Comportamiento de los polos: positivo y negativo.
Para evaluar un típico coeficiente
factor
. El resultado es:
, multiplicando ambos lados de la ecuación por el
La multiplicación del factor
sobre el lado izquierdo del a ecuación. Y el mismo factor
D(s) deberá dividirse fuera. Si
, todos los términos en el lado derecho de la ecuación son
cero excepto . Así, una reglageneral para evaluar las constantes para polos reales de orden
simple es:
Donde D’(s) es
=
. Los coeficientes
polos correspondientes. Para el caso de:
Las constantes son:
son llamados los residuos de C(s) de los
La solución de c(t) es:
CASO 2: POLOS REALES DE ORDEN MÚLTIPLE.
La posición de los polos reales de F(s), algunos de los cuales son repetidos, se muestra en
la figura2. El símbolo es proyectado para indicar un polo de orden r.
Jw
s₁
X
x
s₁
plano s
0
Figura 2. Localización de polos reales en el plano s.
Todos los polos reales están situados sobre el eje real del plano s. para los polos
mostrados en la figura 2, la transformada de C(s) y sus fracciones parciales son:
El orden de D(s) en este caso es cuatro, y hay cuatro fracciones.Note que el polo múltiplo
s, el cual es de orden 3, tiene resultados en tres fracciones en el lado derecho de la ecuación C(s).
Para designar las constantes en las fracciones parciales, un solo subíndice es usado para un polo
de primer orden. Para polos de orden múltiplo, una notación de doble subíndice es usada. El
primer subíndice designa el polo, y el segundo subíndice designa el orden delpolo en la fracción
parcial. Los constantes asociados con los denominadores de primer orden en el desarrollo de las
fracciones parciales son denominados residuos; por lo tanto únicamente las constantes
son residuos de la ecuación C(s).
La transformada inversa de C(s) es:
Como calcular las constantes del orden múltiplo:
Para la transformada general con raíces reales repetidas:
Laconstante
puede evaluarse simplemente, multiplicando ambos lados de la ecuación C(s)
por (
obtendremos:
Nótese que el factor
Para
es dividido fuera de la parte izquierda de la ecuación
todos los términos en el lado derecho de la ecuación son ceros excepto para
:
La evaluación de
no puede realizarse en una manera similar. Multiplicando ambos
lados de la ecuación C(s) por...
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