Laplace

ESCUELA POLITECNICA DEL EJÉRCITO
DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRONICA
SISTEMAS DE CONTROL

PRACTICA N·2
1. Datos informativos

Integrantes: Christian De La Cueva
Cristian Taipe
Ana Yánez
David Mesa
Lenin Paucar
NRC: 3516

2. Tema: Transformada de Laplace

3.Objetivo: Conocer y estudiar las formas y modos de aplicar la Transformada De Laplace

4. Teoría
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver. En este trabajo se presenta la transformada de Laplace y se estudia su utilización en la resolución de problemas que de otro modo requeriríala solución de ecuaciones diferenciales.
Para ayudar a situar el concepto de transformada matemática de manera objetiva, un ejemplo sencillo de transformación matemática es cuando el problema de multiplicación se cambia por la simple operación de adición mediante la transformación logarítmica (figura 4.1). La multiplicación de B por C para dar A,
A=BC
Se puede transformar, mediante el uso delogaritmos, en
Log A = log BC = log B + log C
Podemos entonces sumar log B y log C para obtener el numero D.
De esta manera
Log A = D
Para encontrar el valor de A se debe realizar la operación logaritmo inverso o antilogaritmo
A= antilogD
La transformada de Laplace es un tipo similar de operación matemática a esta transformación logarítmica (figura 4.2). La ecuación diferencial que describecómo se comporta un circuito con el tiempo se transforma en relaciones algebraicas sencillas, que no involucran el tiempo, donde es posible realizar las manipulaciones algebraicas normales de las cantidades. Se dice que el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo se transforma al dominio de s, en el cual se pueden realizar manipulaciones algebraicas. Entonces se utiliza una transformadaTransformación
Inversa
Transformación
Logarítmica

Multiplicación Adición o Solución
O división sustracción
FIGURA 4.1 La transformación logarítmica
Comportamiento
Descrito mediante la ED

Manipulación algebraica de las ecuaciones

Inversa,como el antilogaritmo, a fin de obtener la solución que describe como la señal varía con el tiempo, es decir, se transforma de regreso del dominio de s al dominio del tiempo.

Compara
Transformación
Inversa
Transformación
De Laplace

Multiplicación Adición o Solución en función delDominio de tiempo Dominio de “S” Dominio del tiempo
FIGURA 4.2 La transformación de Laplace
El matemático francés P:S de Laplace (1749-1827) descubrió una forma de resolver ecuaciones diferenciales: multiplicar cada termino de la ecuación por e-st y, así, integrar cada uno de estos términos respecto al tiempo desde cero hasta infinito; s es una constante con unidades de 1/tiempo. Elresultado es lo que hoy día se conoce como la transformada de Laplace. De este modo, la transformada de Laplace de algún término que es función del tiempo es
0∞(term)e-stdt
Debido a que el término es una función del tiempo, es usual escribirla como f(t) con la transformada de Laplace; puesto que ésta es una función de s, se escribe como F(s). Es muy común usar la letra mayúscula F para la transformadade Laplace y la letra minúscula f para la función del tiempo f(t). Así
Fs=0∞f(t)e-stdt
Para ilustrar el uso de la notación de funciones, considere un resistor R a través del cual circula una corriente i y la diferencia de potencial v. En general, se escribirá
v=Ri
Puesto que tanto v como i son funciones del tiempo, esto se podría indicar de manera ideal, al escribir la ecuación como...