Laplace

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

TRANSFORMADA DE LAPLACE:

Índice

1. Prologo 3
2. Marco Teórico
* Definicion de la Transformada 3
Laplace
* Tranformada Inversa 4
3. Ejercicios Resueltos 9
4. Ejercicios Propuestos 12
5.Conclusiones 13
5. Recomendaciones 14
6. Bibliografía 14

Prologo

El objetivo general de esta monografía es descubrir que aplicaciones tienen en la industria en los problemas que se nos presentan, además de entender cual esla forma en la que el método de la transformada de Laplace se aplica sobre una función, cuales son las condiciones para la existencia de la transformada de Laplace.

Se explicará acerca de dos puntos básicos que son la definición básica y la definición de la transformada inversa además de dar a conocer de forma practica la aplicación de la transformada de Laplace por medio de diez ejemplos yde diez ejercicios propuestos que ilustran la teoría antes mencionada.

Marco Teórico
Definición de la Transformada
Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge.
Convergencia de una Integral
Una integral del tipo

es una Integral Impropia del tipo I, se dice que ella converge si existe el límite

Es decir sesustituye el infinito por una nueva variable; se calcula la integral definida, y al resultado se le aplica el límite cuando la variable nueva tiende al infinito.
Notas
1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s
3. Condiciones para laexistencia de la transformada de una función:
1. De orden exponencial
Una función f(t) se dice de orden exponencial si acaso existe una constante positiva M y un número T que cumplan:

Lo que establece la condición es que la función f(t) no crece mas rápido que la función exponencial en el intervalo .

2. Continua a trozos
Continuidad a Pedazos
Para motivos prácticos puede pensar auna función así como una función seccionada continua en cada una de las secciones pero que posiblemente no es continua en los puntos donde se unen dichas secciones. Los problemas que tiene la función son puntos aislados; no intervalos.

Estas funciones tienen graficas similares a:

Definición de la Transformada Inversa

En la sección anterior nos ocupamos del problema de transformar unafunción f(t) en otra función F(s) mediante la integral0∞e-stftdt. La representamos simbólicamente de la siguiente manera: . Ahora invertiremos el problema; es decir, dada F(s), hallar la función ft que corresponde a esa transformación. Se dice que ft es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

Ejemplo:
Calcule

Solución
Puesto que

tenemos que

Teorema 1
AlgunasTransformadas Inversas

es una transformación lineal.- suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si α son constantes.
=
es transformada de la función f y es de la función g.
La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que y, sin embargo, f1≠f2. Pero para nuestros fines no nos ocuparemos de estecaso. Si f1y f2 son continuas por tramos en 0,∞) y de orden exponencial cuando t>0, y si , las funciones f1y f2son esencialmente iguales. Sin embargo, si f1 y f2son continuas en 0,∞) y , entonces f1=f2en dicho intervalo.

Métodos para hallar la Transformada Inversa de Laplace:
Existen varios métodos para determinar la Transformada Inversa de Laplace:
CASO I. Utilizando las formulas del...