Laplace

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace
![af (t )] = aF ( s)
Linealidad Desplazamiento en el tiempo Teorema del valor inicial Teorema del valor final Tiempo por una función

lim f (t )= lim sF ( s )
t →0 s →∞

![ f1 (t ) + f 2 (t )] = F1 ( s) + F2 ( s ) ![ f (t − τ )u (t − τ )] = e − sτ F ( s )

lim f (t ) = lim sF ( s )
t →∞ s →0

Impulso

![δ (t )] = 1 ! e − at f (t )= F (s + a )
 df (t )  !  = sF ( s ) − f (0)  dt  t   ∫ f (t ) dt    F ( s)  a  t =0 !  ∫ f (t ) dt  = + s s a 
t

− dF ( s) ![tf (t )] = ds donde F ( s ) = ![ f (t ) ] ![ f ( at)] = 1 s F  a a
n

Desplazamiento de frecuencia

[

]

! t n f (t ) = (− 1)

[

]

d n F (s) ds n

Derivada

  t  !  f   = aF (as )   a 

Integral

 f (t ) ! = ∫ F ( s )ds  t  s 

∞

Pares de Transformadas de Laplace
f(t) F(s) Impulso unitario 1 Escalón unitario f(t) F(s)

1 u (t ) a at e " at sen ωt cos ωt e − at sen ωt e − at cos ωt tn t en − at

t n −1 (n − 1)! t n −1e " at (n − 1)! 1 (1 − e −at ) a 1 (at −1 + e − at ) a2 1 (e −at − e −bt ) b−a 1 (be −bt − ae −at ) b−a 1  1 1+ (be −at − ae −bt )  ab  a − b   shωt chωt
Rampaamortiguada

1 sn

1 s a s a s2 1 s±a

(s ± a )n
1 s(s + a ) 1 s 2 (s + a )

1

Escalón Rampa

Exponencial Seno Coseno

(s + a )(s + b ) (s + a )(s + b)
1 s(s + a )(s + b ) s

1

ωs2 + ω 2
s s2 + ω 2

Seno amortiguado Coseno amortiguado

ω (s + a )2 + ω 2

ω s −ω2
2

(s + a )2 + ω 2
n! s n +1 n!

s+a

s s2 −ω 2
2

ωn
1−ξ
n +1

e −ξω nt sen ω n 1 − ξ 2 t       

2 ωn s + 2ξω n s + ω n2 2

(s + a )

− 1−

t cos ωt

 1−ξ 2 e −ξω nt sen  ω n 1 − ξ 2 t − arctan  ξ 1−ξ 2  1  1−ξ 2 e −ξω nt sen  ω n 1 − ξ 2 t + arctan  ξ 1−ξ 2  1s s 2 + 2ξω n s + ω n2
2 ωn s (s + 2ξω n s + ω n2 ) 2

(s

s2 − ω 2
2

+ω s

2 2

)

t sen ωt 2ω

(s

2

+ω

2 2

)

2 K e −αt cos(βt + θ ) 2t K e −αt cos (βt + θ )

K...