Laplace
Páginas: 5 (1056 palabras)
Publicado: 8 de enero de 2013
HISTORIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:
Como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. JosephLouis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad. Que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.
Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales comosoluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden.
Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de laprobabilidad ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.
La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyaciente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés OliverHeaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas.
Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas que los rechazaronargumentando que los resultados de Heaviside no podían surgir de tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que al final atrajo la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el método de manera rigurosa. Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacíaun siglo no sólo ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales métodos.
Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, latransformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iníciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DELAPLACE EN CIRCUITOS
La Transformada de Laplace es una herramienta muy poderosa para la resolución de circuitos RCL. La ecuación diferencial que está en el dominio del tiempo mediante la Transformada de Laplace pasan al dominio de la frecuencia, efectuando las respectivas operaciones algebraicas y si es necesario operar por Thévenin o Norton ordenar el circuito luego aplicando la TransformadaInversa de Laplace obtenemos la respuesta en el domino del tiempo.
Las técnicas de Transformada de Laplace son muy útiles para resolver ecuaciones con condiciones iníciales.
Aplicando la Transformada de Laplace se puede mostrar la equivalencia de una resistencia una bobina y un condensador en función de sus condiciones iníciales
Para analizar un circuito RCL usando la transformada de Laplace...
La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:
Como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. JosephLouis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad. Que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.
Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales comosoluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden.
Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de laprobabilidad ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.
La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyaciente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés OliverHeaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas.
Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas que los rechazaronargumentando que los resultados de Heaviside no podían surgir de tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que al final atrajo la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el método de manera rigurosa. Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacíaun siglo no sólo ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales métodos.
Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, latransformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iníciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DELAPLACE EN CIRCUITOS
La Transformada de Laplace es una herramienta muy poderosa para la resolución de circuitos RCL. La ecuación diferencial que está en el dominio del tiempo mediante la Transformada de Laplace pasan al dominio de la frecuencia, efectuando las respectivas operaciones algebraicas y si es necesario operar por Thévenin o Norton ordenar el circuito luego aplicando la TransformadaInversa de Laplace obtenemos la respuesta en el domino del tiempo.
Las técnicas de Transformada de Laplace son muy útiles para resolver ecuaciones con condiciones iníciales.
Aplicando la Transformada de Laplace se puede mostrar la equivalencia de una resistencia una bobina y un condensador en función de sus condiciones iníciales
Para analizar un circuito RCL usando la transformada de Laplace...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.