laplace

Transformada de Laplace
La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los númerospositivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, ladefinición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, quese define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamientode crecimiento de f(t).
 es llamado el operador de la transformada de Laplace.

Propiedades
Linealidad

Derivación
.

 

Integración

Dualidad

Desplazamiento de lafrecuencia

Desplazamiento temporal


Nota:  es la función escalón unitario.
Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función conperiodo p

Condiciones de convergencia
 (que crece más rápido que ) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , es una función de orden exponencial de ángulos.
Teorema delvalor inicial
Sea una función  derivable a trozos y que  Entonces :

 es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.
Teorema del valor finalSea una función derivable a trozos tal que .Entonces :

 es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Ejemplos







Ejemplo