larotonda calculo

Gabriel Larotonda

ISSN 1851-1317

C URSOS DE GRADO

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CALCULO
Y ANALISIS

Fasc´ıculo 3

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CALCULO
INTEGRAL

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CALCULO

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DIFERENCIAL

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CALCULO
Polinomio
de Taylor

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ANALISIS

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ANALISIS
COMPLEJO

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ANALISIS
REAL

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ANALISIS
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NUMERICO

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D EPARTAMENTO DE M ATEM ATICA

FACULTAD DE C IENCIAS E XACTAS Y NATURALES
U NIVERSIDAD DE BUENOS A IRES

2010

Cursos de Grado
Fasc´ıculo 3

Comit´e Editorial:
Carlos Cabrelli (Director). Departamento de Matem´atica, FCEyN, Universidad de Buenos Aires.
E-mail: cabrelli@dm.uba.ar
Guillermo Corti˜nas. Departamento de Matem´atica, FCEyN, Universidad de Buenos Aires.
E-mail: gcorti@dm.uba.ar
Claudia Lederman. Departamento de Matem´atica, FCEyN, Universidad de Buenos Aires.
E-mail:clederma@dm.uba.ar

Auxiliar editorial:
Leandro Vendramin. Departamento de Matem´atica, FCEyN, Universidad de Buenos Aires.
E-mail: lvendramin@dm.uba.ar

ISSN 1851-1317 (Versi´on Electr´onica)
ISSN 1851-1295 (Versi´on Impresa)

Derechos reservados
© 2010 Departamento de Matem´atica, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,
Universidad de Buenos Aires.
Departamento de Matem´atica
Facultad de CienciasExactas y Naturales
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(1428) Ciudad de Buenos Aires
Argentina.
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e-mail: secre@dm.uba.ar
tel/fax: (+54-11)-4576-3335

III

Este libro naci´o como unas notas para un curso de An´alisis, y de a poco se fue convirtiendo en algo m´as que unas notas. Trat´e de conservar un estilo coloquial, sumado al
rigor de definiciones yteoremas, sin evitar ning´un tema, a´un aquellos que suelen tener
(inmerecida) fama de intratables. Pienso que todos los temas que aqu´ı se estudian son
accesibles para un estudiante que haya hecho un curso de c´alculo en una variable real,
y otro de a´ lgebra lineal, si se abordan de la manera adecuada. En lo posible intent´e evitar el uso de coordenadas, y aunque en muchos casos es necesario volvera ellas para
dar un sentido concreto a las ideas geom´etricas, puede decirse que en general, con
modificaciones menores, las pruebas se adaptan a un contexto m´as amplio. Esa fue
mi intenci´on al preparar las clases, y es la intenci´on de este libro: hacer accesibles
temas sutiles del an´alisis y el c´alculo en una y varias variables reales, y vincular estos
temas de manera intr´ınseca con lageometr´ıa del espacio, sin permitir que el uso de
coordenadas oscurezca esta relaci´on.
Si bien el libro contiene problemas que surgen naturalmente a lo largo de la presentaci´on de los temas, estos no suplen una verdadera pr´actica donde los conceptos se trabajen a partir de ejemplos progresivamente m´as sofisticados. En este caso, las pr´acticas
de la materia An´alisis I (dictada por elDepartamento de Matem´atica de la Facultad
de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires) son el complemento ideal para estas notas, que fueron pensadas con estas pr´acticas en la mano. Se
puede acceder a las mismas a trav´es de la p´agina del Departamento de Matem´atica,
cms.dm.uba.ar.

Agradecimientos:
A Sam por su entusiasmo y apoyo constante, a mis hijos por darle color a losgrises.
A Cristian Conde por hacer de editor y corrector en las sombras, en forma totalmente desinteresada.
A Pablo Groisman porque cuando s´olo hab´ıa unas notas en borrador, me hizo
notar que las notas pod´ıan tener alg´un valor para los alumnos.

IV

P REFACIO

Es supersticiosa y vana la costumbre de buscar
sentido en los libros, equiparable a buscarlo en
los sue˜nos o en las l´ıneas ca´oticas delas manos.
J. L. B ORGES

En este libro queremos estudiar problemas que involucren varias variables o inc´ognitas, todas ellas n´umeros reales. Como aprendimos en cursos de c´alculo elementales, lo m´as pr´actico es darle nombre a las variables y despu´es pensar cu´ales son las funciones que modelan el problema; estas funciones van a depender de
esas variables. Es la estrategia de “nombrar y...