larson

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Funciones vectoriales
Se construye una “rueda giratoria” usando los principios básicos
de una rueda de bicicleta. Cuando se está cerca de la parte de la “rueda
giratoria” en movimiento, las fuerzas de rotación y el peso se combinan
para producir mayor aceleración. ¿Por qué piensa que la aceleración en
la parte superior de una “rueda giratoria” en movimiento no sea tan
grande como enla parte inferior? Explicar.

Una función vectorial asigna a
números reales vectores. Se puede
usar una función vectorial para
representar el movimiento de una
partícula a lo largo de una curva.
En la sección 12.3, se usa la primera
y segunda derivada de un vector de
posición para hallar velocidad y
aceleración de una partícula.

Paul Hardy/Corbis

831

832

CAPÍTULO 12Funciones vectoriales

Sección 12.1

Funciones vectoriales
• Analizar y dibujar una curva en el espacio dada por una función vectorial.
• Extender los conceptos de límite y continuidad a funciones vectoriales.

Curvas en el espacio y funciones vectoriales
En la sección 10.2, se definió una curva plana como el conjunto de pares ordenados
͑ f ͑t͒, g ͑t͒͒ junto con sus ecuaciones paramétricas
xϭ f ͑t͒

y

y ϭ g͑t͒

donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. Esta definición puede
extenderse de manera natural al espacio tridimensional, como sigue. Una curva en el
espacio C es el conjunto de todas las ternas ordenadas ͑ f ͑t͒, g͑t͒, h͑t͒͒ junto con sus
ecuaciones paramétricas
x ϭ f ͑t͒,

y ϭ g͑t͒,

y

z ϭ h͑t͒

donde ƒ, g y h son funciones continuas de ten un intervalo I.
Antes de ver ejemplos de curvas en el espacio, se introduce un nuevo tipo de función, llamada función vectorial. Este tipo de función asocia a números reales vectores.

Definición de función vectorial
Una función de la forma
r͑t͒ ϭ f ͑t͒ i ϩ g͑t͒ j

Plano.

r͑t͒ ϭ f ͑t͒ i ϩ g͑t͒ j ϩ h͑t͒ k

Espacio.

o

es una función vectorial donde las funciones componentes ƒ, gy h son funciones del parámetro t. Algunas veces las funciones vectoriales se denotan
como r͑t͒ ϭ ͗ f ͑t͒, g͑t͒͘ o r͑t͒ ϭ ͗ f ͑t͒, g͑t͒, h͑t͒͘.
Técnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de
puntos y ecuaciones paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener
la misma gráfica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por
r ϭ sen
sin t i ϩ cost j

La curva C es trazada por el punto final del
vector posición r(t)
Figura 12.1

y

r ϭ sen
sin t 2 i ϩ cos t 2 j

tiene como gráfica el círculo unidad o unitario, pero estas ecuaciones no representan
la misma curva porque el círculo está trazado de diferentes maneras.
Asegúrese de ver la diferencia entre la función vectorial r y las funciones reales
ƒ, g y h. Todas son funcionesde la variable real t, pero r(t) es un vector, mientras que
ƒ(t), g(t) y h(t) son números reales (para cada valor específico de t).
Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas.
Tomando como parámetro t el tiempo, se puede usar una función vectorial para representar el movimiento a lo largo de una curva. O, en el caso más general, se puede
usar una funciónvectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el
punto final del vector posición r(t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva
dada por las ecuaciones paramétricas, como se muestra en la figura 12.1. La punta de
flecha en la curva indica la orientación de la curva apuntando en la dirección de valores crecientes de t.

SECCIÓN 12.1

Funciones vectoriales

833A menos que se especifique otra cosa, se considera que el dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes ƒ, g
y h. Por ejemplo, el dominio de r͑t͒ ϭ ͑ln t͒ i ϩ Ί1 Ϫ t j ϩ tk es el intervalo ͑0, 1͔.
EJEMPLO 1

Trazado de una curva plana

Dibujar la curva plana representada por la función vectorial
r͑t͒ ϭ 2 cos ti Ϫ 3 sen
sin tj, 0 ≤ t...