Las bolas de juan xv4

MATEMÁTICAS

III

Dados un polígono (ABCDEF…), un punto O del plano y las rectas que unen cada vértice del polígono con el punto O, si se trazan puntos A’, B’, C’, D’, E’, F’, … en las rectas OA, OB, OC, OD, OE, OF, …, respectivamente, de manera que las medidas de los segmentos OA’, OB’, OC’, OD’, OE’, OF’, … sean proporcionales a las medidas de los segmentos OA, OB, OC, OD, OE, OF, …, secumple que el polígono A’B’C’D’E’F’ … es semejante al polígono original y que sus lados son paralelos a los lados correspondientes del polígono original.

iii. a) Realicen los trazos que se piden: 1. Tracen en su cuaderno un triángulo aBc. 2. Tracen una recta paralela al lado Bc y con su compás marquen en esa paralela un segmento que mida 1 de Bc. Llamen a los extremos del segmento B’ y c’. 4 3.Tracen una paralela a Ba que pase por B' y con su compás marquen desde B un segmento que mida 1 de Ba, y llamen al otro extremo a’. Asegúrense de que 4 el ángulo a’B’c’ mida lo mismo que el ángulo aBc. 4. Tracen el segmento a’c’. 5. Tracen las rectas aa’, BB’ y cc’. b) Contesten. 1. ¿Son semejantes los triángulos aBc y a’B’c’? 2. Si los triángulos son semejantes, ¿cuál es la razón de semejanza deaBc con respecto a a’B’c’? 3. Observen que las rectas aa’, BB’ y cc’ se intersecan en un solo punto, llámenOa OB Oc lo O. ¿Cuánto valen las razones Oa’ , OB’ y Oc’ ? c) Comenten qué relación hay entre la razón de semejanza de los triángulos y la razón de las distancias de O a los vértices correspondientes. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus resultados.

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secue ncia 17

A lo que llegamos
Especialmente semejantes

Para trazar un triángulo semejante a un triángulo dado, se pueden trazar rectas paralelas a los lados del triángulo. Los polígonos semejantes con lados correspondientes paralelos se llaman polígonos homotéticos. El punto en el que se intersecan las rectas determinadas por los vértices correspondientes de polígonos homotéticos se llama centrode homotecia.

SESIóN 2

DEPENDE DE LA RAZóN

Consideremos lo siguiente
En el siguiente esquema se trazaron dos pentágonos homotéticos al pentágono aBcDe, con O como centro de homotecia. Determinen las razones de semejanza que permiten obtener cada uno de los pentágonos trazados a partir del pentágono aBcDe.

a

e O D c

B

a) ¿Cuál es la razón de semejanza del pentágono verderespecto del pentágono aBcDe?

b) ¿Cuál es la razón de semejanza del pentágono rosa respecto del pentágono aBcDe?

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MATEMÁTICAS

III

c) Si se traza un pentágono homotético a aBcDe, con centro de homotecia O y con razón de semejanza 1 respecto a aBcDe, ¿las medidas de los lados del pentágono 3 homotético resultante serán mayores, menores o iguales a las del pentágono aBcDe?

d) Si setraza un pentágono homotético a aBcDe, con centro de homotecia O y con razón de semejanza 3 respecto a aBcDe, ¿las medidas de los lados del pentágono 2 homotético resultante serán mayores, menores o iguales a las del pentágono aBcDe?

Comparen sus respuestas.

Manos a la obra
i. En el esquema siguiente se trazaron dos pentágonos homotéticos, con O como centro de homotecia. Mide lo que se pidey contesta. a1

a

e O D c D1 B

e1 c1

B1 a) ¿Cuánto mide el segmento Oa? b) ¿Cuánto mide el segmento Oa1? c) ¿Por qué número se tiene que multiplicar Oa para obtener Oa1? d) ¿Cuánto vale la razón Oa1  ?  Oa

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secue n cia 17
e) ¿Es posible determinar las razones OB1 , Oc1 , OD1 , Oe1 sin medir los segmenOB Oc OD Oe tos? ¿por qué?

f) ¿Cuál es la razón de semejanza que permiteobtener el pentágono a1B1c1D1e1 a partir del pentágono aBcDe? ii. Marca el punto medio de los segmentos Oa, OB, Oc, OD y Oe. Llama a los puntos medios a’, B’, c’, D’ y e’, respectivamente. a) ¿El pentágono a’B’c’D’e’ es homotético con respecto al pentágono aBcDe?

Justifica tu respuesta.

b) Si los pentágonos son homotéticos, ¿cuál es la razón de semejanza de a'B'c'D'e' respecto a aBcDe?...