Las Conicas

Introducción



Los matemáticos tienen el hábito muchas veces de estudiar sólo porque les gusta, cosas que parecen inútiles, sin embargo siglos más tarde estos estudios se convierten en la herramienta para desarrollar la tecnología que hoy tanto nos gusta y sin la cual no podemos vivir. No hay mejor ejemplo de esto que el trabajo realizado por los antiguos griegos sobre las curvas conocidascomo las cónicas, la elipse, la parábola y la hipérbola.
Ellas fueron primero estudiadas por uno de los alumnos de Platón. Implicaciones científicas importantes no fueron encontradas para ellas hasta el siglo XVII, cuando Kepler descubrió que los planetas se mueven siguiendo trayectorias elípticas y Galileo probó que los proyectiles se mueven en parábolas. Apolonio de Perga, un geómetra Griegodel siglo 3 a.c escribió el más grande tratado sobre las cónicas, su trabajo.
Las cónicas fue el primero que mostró como las tres curvas junto con la circunferencia pueden ser obtenidas haciendo cortes al mismo cono circular recto solo variando el ángulo.



















Las cónicas

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre uncono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola. Un cono circular recto.

La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».1Los nombres de hipérbola, parábola yelipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.
Tipos
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentessecciones cónicas, a saber:
§ β < α : Hipérbola (naranja)
§ β = α : Parábola (azulado)
§ β > α : Elipse (verde)
§ β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
§ Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
§ Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangenteal cono).
§ Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
§ cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una rectafija llamada directriz .
Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:
§ Eje, e
§ Vértice, V
§ Distancia de F a d, p.
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación:


Ecuaciones Analíticas de la Parábola
En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V enel origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y



Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F , entonces ,pero:




parábolas con vértice en el origen

Encuentra la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen y su foco en el punto
F(1, 0)

Esta parábola es horizontal y abre hacia la derecha.
Puedes darte cuenta de esto graficandoel vértice y el foco.
Como la parábola es horizontal tenemos que su ecuación es de la forma:
y2= 4p x
Sabemos que p es igual a la distancia del vértice al foco.
De la gráfica es muy sencillo deducir que esa distancia es 1.
Entonces, la ecuación de esa parábola es:
y2= 4x
Ahora vamos a calcular sus elementos:
Lado recto: LLR = 4p = 4(1) = 4.
Directriz: x = h p = 0 1 ) x + 1 =...