Las coordenadas polares

Coordenadas polares

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Localización de un punto en coordenadas polares.

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Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos en grados.

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par decoordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ esindefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

Conversión de coordenadas

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Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas.
En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centrode coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x.

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
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Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y),se tiene que la coordenada polar r es:
[pic](aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
• Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
• Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Paraobtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (arctan denota la inversa de la función tangente):
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Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:
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Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tieneargumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).

Representación de puntos con coordenadas polares

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Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares.
En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano,el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.
• El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.
• El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de210º sobre OL.
Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dosmotivos:
• Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r, θ) se puede representar como (r, θ ± n×360°) o (−r, θ ± (2n + 1)180°), donde n es un número entero cualquiera.[4]
• El centro de coordenadas está definido por una distancia nula,...