las cosas

BINOMIO DE NEWTON
 
Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener 
 Paraello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b)




 
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia
 

Esto esel triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1.
O sea que cada uno de esos números corresponde al valor deun número combinatorio así:

Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual alúltimo, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.
 
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de unnúmero combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:
 

 
Por ejemplo si quiero calcular 
 
Por otra parte, observando las potenciasde (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.
 
Con lo que yatenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.
 

 
Y ya podemos escribir lafórmula general del llamado binomio de Newton
 

 
que también se puede escribir de forma abreviada así: 



 Ejemplos:
1) Desarrollar la potencia 

 
La fila 15 deltriángulo de Tartaglia es: 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1
Que serán los valores de los coeficientes