Las Cónicas

Programa de Estudios Generales
Departamento Académico de Ciencias y Humanidades

Matemática Básica
Período académico 2011-2

Guía N° 3 Las cónicas
Al terminar de resolver los temas tratados en esta guía estará en condiciones de: 1. Determinar y graficar la ecuación de la circunferencia en sus diferentes formas. 2. Determinar y graficar la ecuación de la parábola en sus diferentes formas, eidentificar sus elementos. 3. Determinar y graficar la ecuación de la elipse en su forma canónica, e identificar sus elementos y área. 4. Determinar y graficar la ecuación de la hipérbola en su forma canónica, e identificar sus elementos.

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Imagen tomada de: http://www.universum.unam.mx/eq_mate_07.html

RESUMEN TEÓRICO

DEFINICIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA r Es el conjunto de puntosdel plano que equidistan de otro punto del mismo palno, llamado centro.
Q

P

d (P, O) = r

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

A D r C Q A’

DD’ CC’ Q

: Diámetro : Cuerda : Centro de la Circunferencia : Radio de la Circunferencia

r

C’

D’

AA’

: Arco de circunferencia

ECUACIÓN CARTESIANA DE LA CIRCUNFERENCIA
a)

Forma ordinaria

x  h2  y  k 2  r 2 .
Siendo C(h; k) su centro y r su radio.

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b)

Forma Canónica (Centro en el origen de coordenadas y radio = r )

x2  y2  r 2

c)

Forma general:

x 2  y 2  Dx  Ey  F  0

I) ECUACIÓN LA CIRCUNFERENCIA. Definición y elementos. Ecuación cartesiana
de la circunferencia en sus formas ordinaria, canónica y general. Grupo 1 1. Grafique las siguientes ecuaciones, indicandosu radio en caso sea una circunferencia. a) x 2 + y 2 = 1 Respuesta: Se trata de una circunferencia de centro C(0;0) y radio igual a 1.

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b) 3x 2 + 3y 2 – 15 = 0 Respuesta: Se trata de una circunferencia de centro C(0;0) y radio igual a

c) x 2 + y 2 +3 = 0 Respuesta: No es una circunferencia

d)

x 2 + y 2 = 0. Respuesta: No es una circunferencia, se trata sólo del punto(0;0)

2.

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones determinan una circunferencia? En cada caso afirmativo, halle el centro, el radio y los puntos de máxima y mínima abscisa así como los de máxima y mínima ordenada, de cada una de ellas: a) x 2 + y 2 – 6x + 4y – 3 = 0 Respuesta: Si corresponde a una circunferencia : Centro (3 ; -2) radio = 4 Punto de máxima abscisa = (7 ; -2) Punto de mínimaabscisa = (-1 ; -2) Punto de máxima ordenada = (3 ; 2) Punto de mínima ordenada = (3 ; -6) b) x 2 + y 2 – x + y + 14 = 0 Respuesta: No corresponde a una circunferencia

c) x 2 + y 2 + 8x – 2y +17 = 0 Respuesta: No corresponde a una circunferencia, es el punto (-4 ; 1)

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d) x 2 + y 2 + x = 0 Respuesta: Si corresponde a una circunferencia : Centro Punto de máxima abscisa = Punto demínima abscisa = Punto de máxima ordenada = Punto de mínima ordenada =

3.

Complete el siguiente cuadro considerando que cada dato se refiere a una circunferencia con centro en (0; 0). Datos r = 1,5 Es tangente a la recta L: x + y – Pasa por el punto A (4; 3). El área de su interior es 4 u2. =0 C: C: C: C: Respuesta: Ecuación canónica ó C:

4.

Los siguientes datos corresponden a unacircunferencia. En cada caso determine sus ecuaciones en las formas ordinaria y general. a) Centro C (1; –3) y radio r = 2. Respuesta: Forma ordinaria: Forma general: C: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 4 C: x2 + y2 – 2x + 6y + 6 = 0

b) La circunferencia pasa por el punto A (2; 4) y el centro es C (–1; – 2). Respuesta: Forma ordinaria: Forma general: C: (x + 1)2 + (y + 2)2 = 45 C: x2 + y2 + 2x + 4y – 40 = 0c) El centro C (1; –1) y es tangente a la recta L: 3x – 4y + 8 = 0. Respuesta: Forma ordinaria: Forma general: C: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 9 C: x2 + y2 – 2x + 2y – 7 = 0

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5.

Determine la ecuación de la circunferencia con el centro en el eje de ordenadas, y los extremos de una de sus cuerdas son los puntos M (2; 7) y N (4; 1). Respuesta: Forma ordinaria: Forma general: C:...